bzoj2820 YY的GCD【莫比乌斯反演】

解题思路：

题目大意即为求：

∑p∈P∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=p]

原式=∑p∈P∑i=1np∑j=1mp[gcd(i,j)=1]

=∑p∈P∑i=1np∑j=1mpϵ(gcd(i,j))

=∑p∈P∑i=1np∑j=1mp∑d|gcd(i,j)μ(d)

=∑p∈P∑i=1np∑j=1mp∑d|i,d|jμ(d)

=∑p∈P∑d∑i=1npd∑j=1mpdμ(d)

=∑p∈P∑dμ(d)⌊npd⌋⌊mpd⌋

这里我们设T=pd，则d=Tp，现在改为枚举T，则

原式=∑T⌊nT⌋⌊mT⌋∑p∈P,p|Tμ(Tp)。

令

g(x)=∑p∈P,p|xμ(xp)

那么关键在于求g(x)的前缀和。

考虑线性筛法。

对于一个质数p0

当p0|x，则μ(p0x)=0，那么当p≠p0，有mu(p0xp)=0，所以此时

g(p0x)=∑p∈P,p|p0xμ(p0xp)=μ(x)

当p0不整除x，则有

g(p0x)=∑p∈P,p|xμ(xp)∗μ(p0)+μ(p0xp0)

即g(p0x)=−g(x)+μ(x)。

所以可以线性筛出g(x)，那么本题就可以O(n)预处理，O(n√)查询了。

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<string>#include<algorithm>#include<cmath>#include<ctime>#include<vector>#include<set>#include<complex>#define ll long longusing namespace std;int getint(){    int i=0,f=1;char c;    for(c=getchar();(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=getchar());    if(c=='-')f=-1,c=getchar();    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';    return i*f;}const int N=1e7+5,INF=0x3f3f3f3f;int T,n,m,pn;int pri[N],mu[N],g[N],sum[N];void sieve(){    memset(mu,INF,sizeof(mu));    mu[1]=1;    for(int i=2;i<=1e7;i++)    {        if(mu[i]==INF)pri[++pn]=i,mu[i]=-1,g[i]=1;        for(int j=1;j<=pn;j++)        {            ll k=1ll*i*pri[j];            if(k>1e7)break;            if(i%pri[j]==0)            {                mu[k]=0;                g[k]=mu[i];                break;            }            else            {                mu[k]=-mu[i];                g[k]=mu[i]-g[i];            }        }        sum[i]=sum[i-1]+g[i];    }}int main(){    //freopen("lx.in","r",stdin);    //freopen("lx.out","w",stdout);    sieve();    T=getint();    while(T--)    {        n=getint(),m=getint();        if(n>m)swap(n,m);        ll ans=0;        for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)        {            j=min(n/(n/i),m/(m/i));            ans+=1ll*(n/i)*(m/i)*(sum[j]-sum[i-1]);        }        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}