【网络流二十四题 魔术球问题】【DAG 最小路径覆盖->最大流】【灵感】

灵感

我们在解决网络流一类问题时
都要想限制条件和 S T 是什么

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问题模型： DAG 最小路径覆盖
转化模型 ：最大流

由于是顺序放球，每根柱子上的球满足这样的特征，即下面的球编号小于上面球的编号。抽象成图论，把每个球看作一个顶点，就是编号较小的顶点向编号较大的顶点连接边，条件是两个球可以相邻，即编号之和为完全平方数。每根柱子看做一条路径，N 根柱子要覆盖掉所有点，一个解就是一个路径覆盖。

最小路径覆盖数随球的数量递增不递减，满足单调性，所以可以枚举答案（或二分答案），对于特定的答案求出最小路径覆盖数，一个可行解就是最小路径覆盖数等于 N 的答案，求出最大的可行解就是最优解。本问题更适合枚举答案而不是二分答案，因为如果顺序枚举答案，每次只需要在残量网络上增加新的节点和边，再增广一次即可。如果二分答案，就需要每次重新建图，大大增加了时间复杂度。

建图

枚举答案 A，在图中建立节点 1 ... A。如果对于 i < j 有 i + j 为一个完全平方数，连接一条有向边 (i, j)。该图是有向无环图，求最小路径覆盖。如果刚好满足最小路径覆盖数等于 N，那么 A 是一个可行解，在所有可行解中找到最大的 A，即为最优解。

具体方法可以顺序枚举 A 的值，当最小路径覆盖数刚好大于 N 时终止，A - 1 就是最优解。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 2e5 + 5, base = 1e5, inf = 0x7fffffff;struct Edge {    int next, to, c;    int mark, u;}e[N << 1];int n, s, t, lst = 0;bool check[N], used[3030][3030];int to[N], mark[N];int cnt = 1;int head[N], cur[N];void add(int u, int v) {    e[++ cnt].to = v; e[cnt].c = 1; e[cnt].u = u; e[cnt].mark = 1; e[cnt].next = head[u]; head[u] = cnt;    e[++ cnt].to = u; e[cnt].c = 0; e[cnt].u = v; e[cnt].mark = 0; e[cnt].next = head[v]; head[v] = cnt;}int dep[N];bool bfs(int x) {    queue<int> q;    memset(dep, 0, sizeof(dep));    dep[x] = 1; q.push(x);    while(!q.empty()) {        int u = q.front(); q.pop();        for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {            int v = e[i].to;            if (!dep[v] && e[i].c) { dep[v] = dep[u] + 1; q.push(v); }          }    }    if (!dep[t]) return 0;    return 1;}int dfs(int u, int flow) {    if (u == t) return flow;    for (int &i = cur[u]; i; i = e[i].next) {        int v = e[i].to;        if (dep[v] == dep[u] + 1 && e[i].c) {            int nowflow = dfs(v, min(flow, e[i].c));            if (nowflow > 0) {                e[i].c -= nowflow;                e[i ^ 1].c += nowflow;                return nowflow;            }        }    }    return 0;}int Dinic(int x) {    int res = lst;    while(bfs(s)) {        for (int i = s; i <= x; i ++) cur[i] = head[i];        for (int i = base + 1; i <= base + x; i ++) cur[i] = head[i];        cur[t] = head[t];        while (int d = dfs(s, inf)) res += d;    }    lst = res;    return x - res; // 总点数 = 最大匹配就是最小路径覆盖也就是柱子数 }int main() {    memset(check, 0, sizeof(check));    memset(used, 0, sizeof(used));    memset(mark, 0, sizeof(mark));    scanf("%d", &n);    s = 0, t = N - 1;    for (int i = 1; i <= 60; i ++)        check[i * i] = 1;    int num = 0;        while(1) {        ++ num;        add(s, num), add(num + base, t);        for (int i = 1; i < num; i ++)            if (check[i + num] == 1 && !used[i][num]) add(i, num + base), used[i][num] = 1;        int ans = Dinic(num);        if (ans > n) { printf("%d\n", num - 1); break; }    }    for (int i = 2; i <= cnt; i ++)        if (e[i].mark == 1 && !e[i].c) to[e[i].u] = e[i].to - base, mark[e[i].to - base] = 1;    for (int i = 1; i <= num - 1; i ++) {        if (mark[i]) continue;;        int k = i;        while (k) {            printf("%d ", k);            k = to[k];        }        printf("\n");    }    return 0;}