工程计算4——线性方程组的问题敏感性
来源:互联网 发布:asp.net 开源论坛源码 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 14:50
扰动方程
- 方程组(A+△A)x=b+ △b为方程Ax=b的扰动方程
- △A, △b为由舍入误差所产生的扰动矩阵和扰动向量
- 近似解与Ax=b的解x的相对误差不大称为良态方程,否则为病态方程。
向量和矩阵的范数
为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性,引入的对向量和矩阵的度量。
向量的范数
- 定义
- 设Xϵ
Rn ,||X|| 表示定义在Rn 上的一个实值函数,称之为X的范数,
- 设Xϵ
- 性质
- 非负性:即对一切X ∈
Rn ,X≠ 0, ||X||>0 - 齐次性:即对任何实数a∈R,X ∈
Rn ,||aX|| = |a|||X|| - 三角不等式:即对任意两个向量X、Y∈
Rn ,恒有||X+Y||≤ ||X|| + ||Y||
- 非负性:即对一切X ∈
- 常用范数——设
X=(x1,x2,…,xn)T ,则有||X||1=|x1|+|x2|+....+|xn| ||X||2=XXT−−−−−√=x21+x22+...+x2n−−−−−−−−−−−−−√ ||X||∞=max1≤i≤n|xi|
矩阵的范数
- 性质
- 非负性:|||A||
≥ 0,当A=0时,||A|| = 0 - 齐次性:kϵR,||kA|| = |k|||A||
- 三角不等式:
∀A、B∈Rn×n ,恒有||A+B||≤ ||A|| + ||B|| - 相容性:
∀A、B∈Rn×n ,恒有||AB||≤||A||||B||
- 非负性:|||A||
- 常用范数
- 列范数
||A||1=max1≤j≤n∑n1|aij| - 谱范数
||A||2=λmax(AAT)−−−−−−−−−√ - 行范数
||A||∞=max1≤i≤n∑|aij| - F范数
||A||F=(∑nj=1∑ni=1a2ij)12
- 列范数
- A 的范数与A 的特征值之间的关系
- 定理:矩阵A 的任一特征值的绝对值不超过A的范数。
- 谱半径:矩阵A 的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径,记为
ρ(A)=max(λi) ,ρ(A)≤||A|| - 条件数:设A 为n 阶非奇矩阵,称数
||A−1|||A|| 为矩阵A的条件数,记为cond(A)
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