工程计算3——解线性方程组的直接法

求解 Ax = b

高斯消去法

• 过程
  
  • 
• 选主元技术
  
  • Gauss 消去法有效的条件是主元全不为零

矩阵的三角分解法

Doolittle分解（LU）

• L 主对角线元都是 1
• Ax = b&&A=LU⟹L(Ux)=b  分解成两步
  
  • Ly = b
  • Ux = y

对称矩阵的Cholesky分解

• A=LL T  
• 优点：可以减少存储单元。
• 缺点：存在开方运算，可能会出现根号下负数。

• 求解矩阵L

  for(int j=1;j<=n;j++){    for(int k=1;k<=j-1;k++)        A[j][j] = A[j][j] - A[j][k] * A[j][k];    A[j][j] = sqrt(A[j][j]);    for(int i=j+1;i<=n;i++)    {        for(int k=1;k<=j-1;k++)            A[i][j] = A[i][j] - A[i][k] * A[j][k];         A[i][j] = A[i][j] / A[j][j];    }}

改进的cholesky分解

• A=LDL T  
• Ly=b 
• L T x=D −1 y