旋转矩阵与欧拉角

  描述两个坐标系间的相对姿态有多种方式，比如：旋转矩阵、欧拉角、四元数、罗德里格参数等。我们很多本科生或研究生课程中都或多或少涉及到坐标系变换，而且有些人还不止听过一遍，但还是感觉云里雾里（在下就是）。尤其是当旋转矩阵和欧拉角结合起来的时候，一听就会，一用就错。

  下面我根据自己在使用中碰到的容易混淆的地方梳理一下，希望对各位的理解有些帮助。为了节约篇幅，我就默认大家对旋转矩阵和欧拉角有一些了解，或者看过相关的文献介绍。

坐标变换与旋转矩阵

  我们大多数情况下遇到的都是欧氏变化，即同一个向量在各坐标系下的长度和夹角都不发生变化。定义两个坐标系1和2，对应的两组坐标基为f1=[i1,j1,k1]T和f2=[i2,j2,k2]T，同一个向量在这两个坐标系下的坐标表示分别为[x1,y1,z1]T和[x2,y2,z2]T。根据坐标系定义，有：

[i1,j1,k1]⎡⎣⎢x1y1z1⎤⎦⎥=[i2,j2,k2]⎡⎣⎢x2y2z2⎤⎦⎥(1)

  接下来就是可能混淆的地方了，下面我们有两种方式来表示坐标系1和坐标系2之间的旋转矩阵，这取决于方程(1)等式两边左乘哪组坐标基。

  如果方程两边同时左乘坐标系1的坐标基：

⎡⎣⎢x1y1z1⎤⎦⎥=f1∗fT2⎡⎣⎢x2y2z2⎤⎦⎥=C12⎡⎣⎢x2y2z2⎤⎦⎥(2)

  这里的C12表示坐标系1相对于坐标系2的方向余弦矩阵（旋转矩阵），即从坐标系2到坐标系1的旋转矩阵。

  如果方程两边同时左乘坐标系2的坐标基：

⎡⎣⎢x2y2z2⎤⎦⎥=f2∗fT1⎡⎣⎢x1y1z1⎤⎦⎥=C21⎡⎣⎢x1y1z1⎤⎦⎥(3)

  这里的C21表示坐标系2相对于坐标系1的方向余弦矩阵（旋转矩阵），即从坐标系1到坐标系2的旋转矩阵。

  由于方向余弦矩阵是正交矩阵，因此C21和C12之间差一个转置。

欧拉角

  欧拉角具有直观、易于理解的特点，能让我们清楚的看到两个坐标系间是怎么转动过去的，虽然欧拉角会碰到万向锁的问题，但它仍然是我们在描述刚体运动学过程中的重要参数。

  学过相关内容的同学应该知道，根据旋转顺序不同，描述两个坐标系间转换的欧拉角共有12组。这里只介绍一种比较常见的转换方式，ZYX顺序转动，也就是航空航天领域常用“偏航-俯仰-滚转”(yaw-pitch-roll)方式：

• 绕Z轴旋转，得到偏航角ψ;
• 绕旋转之后的Y轴旋转，得到俯仰角θ；
• 绕旋转之后的X轴旋转，得到俯仰角ϕ；

  以卫星或无人机为例，这里的“偏航-俯仰-滚转”指的是本体系b相对于参考坐标系i（世界坐标系）的转动，转换为姿态矩阵表示为参考坐标系到本体系的转换矩阵。这一点在仿真过程中极为重要，有时感觉理论上好像懂了，但是如果顺序搞反了在仿真中会差一个转置，得不到正确的结果，而且不太好发现。

  经过ZYX顺序三次旋转得到的旋转矩阵为：

⎡⎣⎢xbybzb⎤⎦⎥=Cx(ϕ)Cy(θ)Cz(ψ)⎡⎣⎢xiyizi⎤⎦⎥=Cbi⎡⎣⎢xiyizi⎤⎦⎥(4)