旋转矩阵与四元数

在计算机图形学的学习中，几何变换（Transformations）是一块重要的内容，我们使用齐次坐标（Homogeneous coordinates）描述点和向量，使用变换矩阵描述平移、旋转等变换。

而在平移、旋转、缩放这几种变换中，又以旋转的情况最为复杂。实际上，计算机图形学中三维空间的旋转不仅仅有旋转矩阵一种表达形式，欧拉角（Euler angles）和四元数（Quaternions）也是常用的方法。

旋转矩阵

三维空间中的一个点 PP ，我们用齐次坐标表示：

P=[x,y,z,w]TP=[x,y,z,w]T

我们首先考虑分别绕 X 轴、Y 轴、Z 轴旋转一定角度的情况。

绕坐标轴旋转

设 PP 绕 X 轴、Y 轴、Z 轴的旋转角度分别为 αα、ββ 和 θθ。

我们使用右手坐标系，旋转角度的正向由右手定则确定。

点绕坐标轴旋转可以考虑点在相应坐标平面上投影的旋转。比如绕 Y 轴旋转，那么考虑点 PP 在 X-Z 平面上的投影的旋转，如下图所示：

绕Y轴旋转

假设点 PP 在 X-Z 平面上的投影点与坐标原点连成的向量长度为 L ，那么根据简单的平面几何知识，我们可以得到：

[x1z1]=[cosβ−sinβsinβcosβ][xz][x1z1]=[cosβsinβ−sinβcosβ][xz]

用齐次坐标表示绕Y轴的旋转为：

⎡⎣⎢⎢⎢x1y1z1w1⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢cosβ0−sinβ00100sinβ0cosβ00001⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢xyzw⎤⎦⎥⎥⎥[x1y1z1w1]=[cosβ0sinβ00100−sinβ0cosβ00001][xyzw]

同理可分别得到绕X轴与绕Y轴的情况。

绕X轴旋转：

⎡⎣⎢⎢⎢x2y2z2w2⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢10000cosαsinα00−sinαcosα00001⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢xyzw⎤⎦⎥⎥⎥[x2y2z2w2]=[10000cosα−sinα00sinαcosα00001][xyzw]

绕Z轴旋转：

⎡⎣⎢⎢⎢x3y3z3w3⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢cosθsinθ00−sinθcosθ0000100001⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢xyzw⎤⎦⎥⎥⎥[x3y3z3w3]=[cosθ−sinθ00sinθcosθ0000100001][xyzw]

我们可以将绕X、Y和Z坐标轴的旋转矩阵分别记为 Rx(α),Ry(β),Rz(θ)Rx(α),Ry(β),Rz(θ)，则有：

Rx(α)=⎡⎣⎢⎢⎢10000cosαsinα00−sinαcosα00001⎤⎦⎥⎥⎥Rx(α)=[10000cosα−sinα00sinαcosα00001]

Ry(β)=⎡⎣⎢⎢⎢cosβ0−sinβ00100sinβ0cosβ00001⎤⎦⎥⎥⎥Ry(β)=[cosβ0sinβ00100−sinβ0cosβ00001]

Rz(θ)=⎡⎣⎢⎢⎢cosθsinθ00−sinθcosθ0000100001⎤⎦⎥⎥⎥Rz(θ)=[cosθ−sinθ00sinθcosθ0000100001]

旋转矩阵可以通过其他旋转矩阵复合得到（矩阵乘法）。

四元数

从前面的讨论我们发现三角度系统（three-angle system）无法很好地处理旋转的插值。下面介绍四元数（Quaternions）以及如何利用四元数描述旋转。

四元数的定义

四元数是由数学家 William Rowan Hamilton 于1843年所发明的数学概念，是复数的推广，可以说是“三维的复数”，形式为 w+x i+y j+z kw+x i+y j+z k ，其中 i,j,ki,j,k 的关系如下：

i2=j2=k2=−1i⋅j=−j⋅i=ki⋅k=−k⋅i=jj⋅k=−k⋅j=ii2=j2=k2=−1i⋅j=−j⋅i=ki⋅k=−k⋅i=jj⋅k=−k⋅j=i

假设有两个四元数：

q1=w1+x1 i+y1 j+z1 kq2=w2+x2 i+y2 j+z2 kq1=w1+x1 i+y1 j+z1 kq2=w2+x2 i+y2 j+z2 k

四元数的加法定义如下：

q1+q2=(w1+w2)+(x1+x2) i+(y1+y2) j+(z1+z2) kq1+q2=(w1+w2)+(x1+x2) i+(y1+y2) j+(z1+z2) k

四元数的乘法定义，利用简单的分配律定义如下：

q1⋅q2=(w1⋅w2−x1⋅x2−y1⋅y2−z1⋅z2)+(w1⋅x2+x1⋅w2+y1⋅z2−z1⋅y2) i+(w1⋅y2−x1⋅z2+y1⋅w2+z1⋅x1) j+(w1⋅z2+x1⋅y2−y1⋅x2+z1⋅w2) kq1⋅q2=(w1⋅w2−x1⋅x2−y1⋅y2−z1⋅z2)+(w1⋅x2+x1⋅w2+y1⋅z2−z1⋅y2) i+(w1⋅y2−x1⋅z2+y1⋅w2+z1⋅x1) j+(w1⋅z2+x1⋅y2−y1⋅x2+z1⋅w2) k

为了方便表示，我们将四元数记为：

q=(x,y,z,w)=(v⃗ ,w)q=(x,y,z,w)=(v→,w)

注意，这里四元数的表示形式和“齐次坐标”长得一样，但是它们之间没什么关系！

四元数常常用来表示旋转，很多人将其理解为“w表示旋转角度，v表示旋转轴”，也是错误的！

正确的理解应为：“w与旋转角度有关，v与旋转轴有关”。

四元数的模（norm）定义为

|q|=x2+y2+z2+w2|q|=x2+y2+z2+w2

模为1的四元数称为单位四元数(Unit quaternions)。

四元数的共轭（conjugate）定义为:

q∗=(−v⃗ ,w)q∗=(−v→,w)

四元数的倒数定义为：

1/q=q∗/|q|21/q=q∗/|q|2

四元数与旋转

这里直接给出结论：如果把单位四元数表示为：

q=(n⃗ ⋅sinθ2, cosθ2)q=(n→⋅sinθ2, cosθ2)

的形式，那么该单位四元数可以表示绕轴 n⃗ n→
进行 θθ 角的旋转。

该单位四元数对应的旋转矩阵为

R(q)=⎡⎣⎢1−2(y2+z2)2(xy+zw)2(xz−yw)2(xy−zw)1−2(x2+z2)2(yz+xw)2(xz+yw)2(yz−xw)1−2(x2+y2)⎤⎦⎥R(q)=[1−2(y2+z2)2(xy−zw)2(xz+yw)2(xy+zw)1−2(x2+z2)2(yz−xw)2(xz−yw)2(yz+xw)1−2(x2+y2)]

这里的推导用到了轴-角旋转表示中的Rodrigues’ rotation formula，具体证明这里不展开了，有兴趣的可以查阅相关资料。

我们发现用四元数描述旋转需要的存储空间很小，更为关键的是可以使用被称为球面线性插值（Slerp Algorithm）的方法对四元数进行插值运算，从而解决了平滑旋转的插值问题。

在 OpenGL 或者 DirectX 中我们通常使用模型视图矩阵来进行几何变换，当我们希望实现光滑旋转、对旋转进行插值时，就可以利用四元数这一工具。处理过程为：

• 模型视图矩阵 -> 四元数
• 使用四元数进行运算
• 四元数 -> 模型视图矩阵