求某个数组里连续子数组最大和的几个算法

注意：这里的数组元素，有可能全为负。这样，所谓的：

int find_max_array(const vector<int> &a)  {      int max_sum = 0;      int this_sum = 0;      for (int i = 0; i < a.size(); ++i)      {          this_sum += a[i];          if (this_sum > max_sum)              max_sum = this_sum;          else if (this_sum < 0)              this_sum = 0;      }      return max_sum;  }  

这种方法就行不通了。下面是几种无论正负的通用方法。

1. 问题描述

输入一个整形数组，求数组中连续的子数组使其和最大。比如，数组x

应该返回 x[2..6]的和187.

2. 问题解决

我们很自然地能想到穷举的办法，穷举所有的子数组的之和，找出最大值。

穷举法

i, j的for循环表示x[i..j]，k的for循环用来计算x[i..j]之和。

maxsofar = 0for i = [0, n)    for j = [i, n)        sum = 0        for k = [i, j]            sum += x[k]        /* sum is sum of x[i..j] */        maxsofar = max(maxsofar, sum)

有三层循环，穷举法的时间复杂度为O(n3)

对穷举法的改进1

我们注意到x[i..j]之和 = x[i..j-1]之和 + x[j]，因此在j的for循环中，可直接求出sum。

maxsofar = 0for i = [0, n)    sum = 0    for j = [i, n)        sum += x[j]        /* sum is sum of x[i..j] */        maxsofar = max(maxsofar, sum)

显然，改进之后的时间复杂度变为O(n2)。

对穷举法的改进2

在计算fibonacci数时，应该还有印象：用一个累加数组（cumulative array）记录前面n-1次之和，计算当前时只需加上n即可。同样地，我们用累加数组cumarr记录：cumarr[i] = x[0] + . . . +x[i]，那么x [i.. j]之和 = cumarr[j] -cumarr[i - 1]。

cumarr[-1] = 0for i = [0, n)    cumarr[i] = cumarr[i-1] + x[i]    maxsofar = 0for i = [0, n)    for j = [i, n)        sum = cumarr[j] - cumarr[i-1]        /* sum is sum of x[i..j] */        maxsofar = max(maxsofar, sum)

时间复杂度依然为O(n2)。

分治法

所谓分治法，是指将一个问题分解为两个子问题，然后分而解决之。具体步骤如下：

• 先将数组分为两个等长的子数组a, b；
  

• 分别求出两个数组a，b的连续子数组之和；
  

• 还有一种情况（容易忽略）：有可能最大和的子数组跨越两个数组；
  

• 最后比较ma, mb, mc，取最大即可。

在计算mc时，注意：mc必定包含总区间的中间元素，因此求mc等价于从中间元素开始往左累加的最大值 + 从中间元素开始往右累加的最大值。

float maxsum3(l, u)    if (l > u) /* zero elements */        return 0            if (l == u) /* one element */        return max(0, x[l])        m = (l + u) / 2    /* find max crossing to left */    lmax = sum = 0    for (i = m; i >= l; i--)        sum += x[i]        lmax = max(lmax, sum)        /* find max crossing to right */    rmax = sum = 0    for i = (m, u]        sum += x[i]        rmax = max(rmax, sum)    return max(lmax+rmax,                maxsum3(l, m),                maxsum3(m+1, u));

容易证明，时间复杂度为O(n∗log n)。

动态规划

Kadane算法又被称为扫描法，为动态规划（dynamic programming）的一个典型应用。我们用DP来解决最大子数组和问题：对于数组a，用ci标记子数组a[0..i]的最大和，那么则有

ci=max{ai,ci−1+ai}

子数组最大和即为maxci。Kadane算法比上面DP更进一步，不需要用一个数组来记录中间子数组和。通过观察容易得到：若ci−1≤0，则ci=ai。用e表示以当前为结束的子数组的最大和，以替代数组c；那么

e=max{ai,e+ai}

Python实现如下：

def max_subarray(A):    max_ending_here = max_so_far = A[0]    for x in A[1:]:        max_ending_here = max(x, max_ending_here + x)        max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)    return max_so_far

max_ending_here对应于标记e，max_so_far记录已扫描到的子数组的最大和。Kadane算法只扫描了一遍数组，因此时间复杂度为O(n).

3. 参考资料

[1] Jon Bentley, Programming Pearls.
[2] GeeksforGeeks, Largest Sum Contiguous Subarray.

转载自：https://www.cnblogs.com/en-heng/p/3970231.html