查找——二叉排序树

用线性表作为表的组织形式时，用二分查找效率最高。但二分查找只能用于顺序存储结构，不能用链式存储结构，不适用于插入删除操作频繁的情况，只适合静态查找表。

对动态查找表进行高效率查找，最好用二叉排序树。

1.基本概念

二叉排序树（Binary Sort Tree）：为空或满足以下条件：

   （1）每个结点左子树上所有结点的关键字，值都小于该结点的关键字；

   （2）每个结点右子树上所有结点的关键字，值都大于该结点的关键字；

   （3 ）左右子树本身也是二叉排序树。

2.特点

（1）对任一节点x，左（右）子树任一结点y的关键字必小于（大于）x的关键字；

（2）各结点关键字是唯一的，（但实际应用不能保证元素都不相同，此时可以将左子树关键字改为小于等于，或者右子树关键字大于等于）

（3）按中序遍历该树得到的是递增有序序列。

3.二叉排序树的插入和生成

初始二叉树为空，然后读入元素，插入树中。已知关键字为key的结点s，将其插入到二叉排序树中：

    （1）二叉树为空，key为二叉树的根；

    （2）非空，如果key小于根结点的值，则插入左子树，如果key大于根结点的值，则插入右子树，等于的话停止插入。

Node类：

//二叉树结点类public class Node {private Integer data;private Node left;private Node right;public Node() {}public Node(int data) {this.data=data;}public Integer getData() {return this.data;}public void setData() {this.data=data;}//得到左子树public Node getLeft() {return this.left;}public Node getRight() {return this.right;}public void setLeft(Node left) {this.left=left;}public void setRight(Node right) {this.right=right;}}

创建和插入结点实现：

public Node createBST(Node root,int []datas) {root=null;int index=0;while(index<datas.length){root=insertBST(root,datas[index]);index++;}return root;}//插入元素,非递归public Node insertBST(Node root,int data) {Node insertNode=new Node(data);while(root!=null) {if(root.getData()==data) {System.out.println("该元素已存在");return root;}else if(data<root.getData()) {if(root.getLeft()!=null) {root=root.getLeft();}else {root.setLeft(insertNode);return root;}}else if(data>root.getData()) {if(root.getRight()!=null) {root=root.getRight();}else {root.setRight(insertNode);return root;}}    }root=insertNode;return root;}//插入元素 递归public Node rInsertBST(Node root,int data) {Node insertNode=new Node(data);if(root==null) {root=insertNode;}else if(data<root.getData()) {root=root.getLeft();root=rInsertBST(root,data);}else if(data>root.getData()) {root=root.getRight();root=rInsertBST(root,data);}return root;}

4.查找

查找的元素key与当前结点的值data比较，如果key<data则到当前结点的左子树搜索；如果key>data则到当前结点的右子树搜索；

key==data则找到该元素；

一直搜索到空，则不存在要找的元素。

public boolean search(Node root,int data) {while(root!=null) {if(root.getData()==data)return true;else if(data<root.getData())root=root.getLeft();else if(data>root.getData())root=root.getRight();}return false;

5.算法分析

（1）二叉排序树等概率下，查找成功时平均查找长度为

     

（2）二叉排序树查找的平均查找长度与二叉树的形态有关

n个结点的二叉排序树不唯一，结点插入顺序不同，树的形态和深度也不同

     a.最坏情况下，是深度为n 的单支树，平均查找长度和顺序表一样是（n+1）/2

     b.最好情况下，树的形态比较均匀，得到的是与二分查找的判定树相似的二叉排序树，平均查找长度为lgn

     c.插入、删除的时间复杂度均为O(lgn)