最小生成树（Kruskal和Prim算法）

关于图的几个概念定义：

• 连通图：在无向图中，若任意两个顶点vi与vj都有路径相通，则称该无向图为连通图。
• 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vi与vj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。
• 连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。
• 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。
• 最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。 
  

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下面介绍两种求最小生成树算法

1.Kruskal算法

此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。 
1. 把图中的所有边按代价从小到大排序； 
2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林； 
3. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,vi,应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。 
4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。

2.Prim算法

此算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。

1. 图的所有顶点集合为V；初始令集合u={s},v=V−u;
2. 在两个集合u,v能够组成的边中，选择一条代价最小的边(u0,v0)，加入到最小生成树中，并把v0并入到集合u中。
3. 重复上述步骤，直到最小生成树有n-1条边或者n个顶点为止。

由于不断向集合u中加点，所以最小代价边必须同步更新；需要建立一个辅助数组closedge,用来维护集合v中每个顶点与集合u中最小代价边信息，：

struct{  char vertexData   //表示u中顶点信息  UINT lowestcost   //最小代价}closedge[vexCounts]

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3.完整代码

#include <iostream>#include <vector>#include <queue>#include <algorithm>using namespace std;#define INFINITE 0xFFFFFFFF   #define VertexData unsigned int  //顶点数据#define UINT  unsigned int#define vexCounts 6  //顶点数量char vextex[] = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F' };struct node {    VertexData data;    unsigned int lowestcost;}closedge[vexCounts]; //Prim算法中的辅助信息typedef struct {    VertexData u;    VertexData v;    unsigned int cost;  //边的代价}Arc;  //原始图的边信息void AdjMatrix(unsigned int adjMat[][vexCounts])  //邻接矩阵表示法{    for (int i = 0; i < vexCounts; i++)   //初始化邻接矩阵        for (int j = 0; j < vexCounts; j++)        {            adjMat[i][j] = INFINITE;        }    adjMat[0][1] = 6; adjMat[0][2] = 1; adjMat[0][3] = 5;    adjMat[1][0] = 6; adjMat[1][2] = 5; adjMat[1][4] = 3;    adjMat[2][0] = 1; adjMat[2][1] = 5; adjMat[2][3] = 5; adjMat[2][4] = 6; adjMat[2][5] = 4;    adjMat[3][0] = 5; adjMat[3][2] = 5; adjMat[3][5] = 2;    adjMat[4][1] = 3; adjMat[4][2] = 6; adjMat[4][5] = 6;    adjMat[5][2] = 4; adjMat[5][3] = 2; adjMat[5][4] = 6;}int Minmum(struct node * closedge)  //返回最小代价边{    unsigned int min = INFINITE;    int index = -1;    for (int i = 0; i < vexCounts;i++)    {        if (closedge[i].lowestcost < min && closedge[i].lowestcost !=0)        {            min = closedge[i].lowestcost;            index = i;        }    }    return index;}void MiniSpanTree_Prim(unsigned int adjMat[][vexCounts], VertexData s){    for (int i = 0; i < vexCounts;i++)    {        closedge[i].lowestcost = INFINITE;    }          closedge[s].data = s;      //从顶点s开始    closedge[s].lowestcost = 0;    for (int i = 0; i < vexCounts;i++)  //初始化辅助数组    {        if (i != s)        {            closedge[i].data = s;            closedge[i].lowestcost = adjMat[s][i];        }    }    for (int e = 1; e <= vexCounts -1; e++)  //n-1条边时退出    {        int k = Minmum(closedge);  //选择最小代价边        cout << vextex[closedge[k].data] << "--" << vextex[k] << endl;//加入到最小生成树        closedge[k].lowestcost = 0; //代价置为0        for (int i = 0; i < vexCounts;i++)  //更新v中顶点最小代价边信息        {            if ( adjMat[k][i] < closedge[i].lowestcost)            {                closedge[i].data = k;                closedge[i].lowestcost = adjMat[k][i];            }        }    }}void ReadArc(unsigned int  adjMat[][vexCounts],vector<Arc> &vertexArc) //保存图的边代价信息{    Arc * temp = NULL;    for (unsigned int i = 0; i < vexCounts;i++)    {        for (unsigned int j = 0; j < i; j++)        {            if (adjMat[i][j]!=INFINITE)            {                temp = new Arc;                temp->u = i;                temp->v = j;                temp->cost = adjMat[i][j];                vertexArc.push_back(*temp);            }        }    }}bool compare(Arc  A, Arc  B){    return A.cost < B.cost ? true : false;}bool FindTree(VertexData u, VertexData v,vector<vector<VertexData> > &Tree){    unsigned int index_u = INFINITE;    unsigned int index_v = INFINITE;    for (unsigned int i = 0; i < Tree.size();i++)  //检查u,v分别属于哪颗树    {        if (find(Tree[i].begin(), Tree[i].end(), u) != Tree[i].end())            index_u = i;        if (find(Tree[i].begin(), Tree[i].end(), v) != Tree[i].end())            index_v = i;    }    if (index_u != index_v)   //u,v不在一颗树上，合并两颗树    {        for (unsigned int i = 0; i < Tree[index_v].size();i++)        {            Tree[index_u].push_back(Tree[index_v][i]);        }        Tree[index_v].clear();        return true;    }    return false;}void MiniSpanTree_Kruskal(unsigned int adjMat[][vexCounts]){    vector<Arc> vertexArc;    ReadArc(adjMat, vertexArc);//读取边信息    sort(vertexArc.begin(), vertexArc.end(), compare);//边按从小到大排序    vector<vector<VertexData> > Tree(vexCounts); //6棵独立树    for (unsigned int i = 0; i < vexCounts; i++)    {        Tree[i].push_back(i);  //初始化6棵独立树的信息    }    for (unsigned int i = 0; i < vertexArc.size(); i++)//依次从小到大取最小代价边    {        VertexData u = vertexArc[i].u;          VertexData v = vertexArc[i].v;        if (FindTree(u, v, Tree))//检查此边的两个顶点是否在一颗树内        {            cout << vextex[u] << "---" << vextex[v] << endl;//把此边加入到最小生成树中        }       }}int main(){    unsigned int  adjMat[vexCounts][vexCounts] = { 0 };    AdjMatrix(adjMat);   //邻接矩阵    cout << "Prim :" << endl;    MiniSpanTree_Prim(adjMat,0); //Prim算法，从顶点0开始.    cout << "-------------" << endl << "Kruskal:" << endl;    MiniSpanTree_Kruskal(adjMat);//Kruskal算法    return 0;}

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