数据结构11————二叉树的定义性质及储存

一.内容

1.二叉树的定义

2.二叉树的性质

3.二叉树的存储

二.二叉树的定义

1.形式化定义

二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个节点组成的集合,该集合或者为空集(空二叉树)，或者由一个根节点和两颗互不相交的，分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

2.举例

如图就是一个典型的二叉树，二叉树T，根节点为A，A的左子树为T1，右子树为T2，同时左右子树都是一个二叉树。

3.二叉树的特点

a.每个节点最多右两个节点，所以二叉树中不存在度大于2的节点

b.二叉树的左右子树是有次序的，不可以随意颠倒

c.即使节点只有一个子树，也要区分是左子树，还是右左子树

d.二叉树具有五种基本形态：

• 空二叉树
• 只有一个根节点
• 根节点只有左子树
• 根节点只有右子树
• 根节点左右子树都有

小细节：3个节点可以组成几种不同的二叉树？答案是5种

三.二叉树的性质

1. 在二叉树的第i层至多有2^(i-1)个节点

2. 深度为K的二叉树至多有2^K - 1个节点

3. 对任意一颗二叉树T，如果其叶子节点数为n0,度为2的节点为n2，n0=n2+1

证明:设度为节点总数为n，n0是叶子节点(度为0)，n1是度为1的节点，n2是度为2的节点。所以有n = n0+n1+n2;
当一个节点为n时，从节点的进入情况看，除每个根节点外，每个节点都有一根连接线进入节点，所以一共有n-1个连接线.从节点的分支看，度为2的节点分支出去两根连接线，度为1的节点分支出去一根连接线.所以有n-1=2n2+n1
综上所述：n=2n2+n1+1=n0+n1+n2,所以有n0=n2+1

4.具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1([X]表示不超过X的最大整数)

5.如果对一颗有n个节点的完全二叉树(其深度为[log2n]+1)的节点按照层序编号(从第一层到第[log2n]+1)，每层从左到右),对任一节点i(1<=i<=n)

• 如果i=1，则节点i是二叉树的根，无双亲；如果i>i，其双亲是节点的[i/2]
• 如果2i>n,则节点i无左孩子(节点i为叶子节点)，否则其左孩子为是节点的2i
  *如果2i+1>b,则节点i无右孩子，否则其右孩子为节点的2i+1

完全二叉树的定义
若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1)的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

四.二叉树的存储

二叉树的存储和之前的线性表一样,有两种存储方式，顺序(数组)和链表

1.二叉树的顺序存储结构

将一个完全二叉树按照层次编号，按照编号存入数组中，如图所示

对于不是完全二叉树的二叉树，将它也按照二叉树的规则编号,不存在的的节点设置为^ 如图所示

缺点,对于一些特殊二叉树特别浪费空间

2.二叉树的链式存储

对于每个节点，为他设计一个数据域，两个指针域，左指针指向它的左孩子，右指针指向它的右孩子。如图所示

关于二叉树的遍历和存储代码实现，见下一篇博客

参考资料:<大话数据结构>，<数据结构与算法>