AVL树(平衡树)
来源:互联网 发布:雅米网络兼职靠谱吗 编辑:程序博客网 时间:2024/06/01 08:50
AVL树是最早提出的自平衡二叉树,在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一,所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n),增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。本文介绍了AVL树的设计思想和基本操作。
2. 基本术语
有四种种情况可能导致二叉查找树不平衡,分别为:
(1)LL:插入一个新节点到根节点的左子树(Left)的左子树(Left),导致根节点的平衡因子由1变为2
LL情况需要右旋解决:
static Node* left_left_rotation(AVLTree k2){ AVLTree k1; k1 = k2->left; k2->left = k1->right; k1->right = k2; k2->height = MAX(HEIGHT(k2->left), HEIGHT(k2->right)) + 1; k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), k2->height) + 1; return k1;}
(2)RR:插入一个新节点到根节点的右子树(Right)的右子树(Right),导致根节点的平衡因子由-1变为-2
RR情况需要左旋解决:
/* 返回值:旋转后的根节点*/static Node* right_right_rotation(AVLTree k1){ AVLTree k2; k2 = k1->right; k1->right = k2->left; k2->left = k1; k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), HEIGHT(k1->right)) + 1; k2->height = MAX( HEIGHT(k2->right), k1->height) + 1; return k2;}
(3)LR:插入一个新节点到根节点的左子树(Left)的右子树(Right),导致根节点的平衡因子由1变为2
LR情况需要左右(先根节点的左孩子右旋转,后跟节点左旋转)旋解决:
static Node *left_right_rotation(AVLTree k3){ k3->left = right_right_rotation(k3->left); return left_left_rotation(k3);}
(4)RL:插入一个新节点到根节点的右子树(Right)的左子树(Left),导致根节点的平衡因子由-1变为-2
RL情况需要右左旋解决(先根节点的右孩子左旋转,后根节点右旋转):
static Node* right_left_rotation(AVLTree k1){ k1->right = left_left_rotation(k1->right); return right_right_rotation(k1);}
针对四种种情况可能导致的不平衡,可以通过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转:
(1)左旋转:将根节点旋转到(根节点的)右孩子的左孩子位置(设旋转的p为根节点,t为其右节点)
"笨“理解:左旋转肯定是根的右孩子来左旋转。先来确定根的右孩子 t = p->right; 因为根的右孩子动了,肯定需要其它节点来“补充”,那么根的右孩子的左孩子作为根的右孩子
p->right = t->left;然后因为根的右孩子的左孩动了,需要平衡 。 所以将根作为其右孩子的左孩子: p = t->left;最后因为根与其右孩子交换了位置:p = t;
其实主要的画个图;空间想象下就行:
(2)右旋转:将根节点旋转到(根节点的)左孩子的右孩子位置:左旋转类似:
完整代码:
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )typedef int Type;typedef struct AVLTreeNode{ Type key; // 关键字 int height; //树的高度 (树的平衡性选择) struct AVLTreeNode *left; // 左孩子 struct AVLTreeNode *right; // 右孩子}Node, *AVLTree;#define HEIGHT(p) ( (p==NULL) ? -1 : (((Node *)(p))->height) )#define MAX(a, b) ( a > b ? a : b) /* * 获取AVL树的高度 */int avltree_height(AVLTree tree){ return HEIGHT(tree);}/* * 前序遍历"AVL树"*/void preorder_avltree(AVLTree tree){ if(tree != NULL) { printf("%d ", tree->key); preorder_avltree(tree->left); preorder_avltree(tree->right); }}/* * 中序遍历"AVL树" */void inorder_avltree(AVLTree tree){ if(tree != NULL) { inorder_avltree(tree->left); printf("%d ", tree->key); inorder_avltree(tree->right); }}/* * 后序遍历"AVL树" */void postorder_avltree(AVLTree tree){ if(tree != NULL) { postorder_avltree(tree->left); postorder_avltree(tree->right); printf("%d ", tree->key); }}/* * (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点 */Node* avltree_search(AVLTree x, Type key){ if (x==NULL || x->key==key) return x; if (key < x->key) return avltree_search(x->left, key); else return avltree_search(x->right, key);}/* * (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点 */Node* iterative_avltree_search(AVLTree x, Type key){ while ((x!=NULL) && (x->key!=key)) { if (key < x->key) x = x->left; else x = x->right; } return x;}/* * 查找最小结点:返回tree为根结点的AVL树的最小结点。 */Node* avltree_minimum(AVLTree tree){ if (tree == NULL) return NULL; while(tree->left != NULL) tree = tree->left; return tree;} /* * 查找最大结点:返回tree为根结点的AVL树的最大结点。 */Node* avltree_maximum(AVLTree tree){ if (tree == NULL) return NULL; while(tree->right != NULL) tree = tree->right; return tree;}/* * LL:左左对应的情况(左单旋转)。 * * 返回值:旋转后的根节点 */static Node* left_left_rotation(AVLTree k2){ AVLTree k1; k1 = k2->left; k2->left = k1->right; k1->right = k2; k2->height = MAX(HEIGHT(k2->left), HEIGHT(k2->right)) + 1; k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), k2->height) + 1; return k1;}/* * RR:右右对应的情况(右单旋转)。 * * 返回值:旋转后的根节点 */static Node* right_right_rotation(AVLTree k1){ AVLTree k2; k2 = k1->right; k1->right = k2->left; k2->left = k1; k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), HEIGHT(k1->right)) + 1; k2->height = MAX( HEIGHT(k2->right), k1->height) + 1; return k2;}/* * LR:左右对应的情况(左双旋转)。 * 返回值:旋转后的根节点 */static Node *left_right_rotation(AVLTree k3){ k3->left = right_right_rotation(k3->left); return left_left_rotation(k3);} /* * RL:左右对应的情况(右双旋转)。 * 返回值:旋转后的根节点 */static Node* right_left_rotation(AVLTree k1){ k1->right = left_left_rotation(k1->right); return right_right_rotation(k1);}static Node* avltree_create_node(Type key, Node *left, Node* right){ Node* p; if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL) return NULL; p->key = key; p->height = 0; p->left = left; p->right = right; return p;} Node *avltree_insert(AVLTree tree, Type key){ if (tree == NULL) { // 新建节点 tree = avltree_create_node(key, NULL, NULL); if (tree==NULL) { printf("ERROR: create avltree node failed!\n"); return NULL; } } else if(key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况 { tree->left = avltree_insert(tree->left, key); // 插入节点后,若AVL树失去平衡,则进行相应的调节。 if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2) { if (key < tree->left->key) tree = left_left_rotation(tree); else tree = left_right_rotation(tree); } } else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况 { tree->right = avltree_insert(tree->right, key); // 插入节点后,若AVL树失去平衡,则进行相应的调节。 if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2) { if (key > tree->right->key) tree = right_right_rotation(tree); else tree = right_left_rotation(tree); } } else //(key == tree->key) { printf("添加失败:不允许添加相同的节点!\n"); } tree->height = MAX( HEIGHT(tree->left), HEIGHT(tree->right)) + 1; return tree;} static Node* delete_node(AVLTree tree, Node *z){ // 根为空或者没有要删除的节点,直接返回NULL。 if (tree==NULL || z==NULL) return NULL; if (z->key < tree->key) // 待删除的节点在"tree的左子树"中 { tree->left = delete_node(tree->left, z); // 删除节点后,若AVL树失去平衡,则进行相应的调节。 if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2) { Node *r = tree->right; if (HEIGHT(r->left) > HEIGHT(r->right)) tree = right_left_rotation(tree); else tree = right_right_rotation(tree); } } else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中 { tree->right = delete_node(tree->right, z); // 删除节点后,若AVL树失去平衡,则进行相应的调节。 if(HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2) { Node *l = tree->left; if (HEIGHT(l->right) > HEIGHT(l->left)) tree = left_right_rotation(tree); else tree = left_left_rotation(tree); } } else //tree根是对应要删除的节点。 { // tree的左右孩子都非空 if ((tree->left) && (tree->right)) { if (HEIGHT(tree->left) > HEIGHT(tree->right)) { // 如果tree的左子树比右子树高; // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点 // (02)将该最大节点的值赋值给tree。 // (03)删除该最大节点。 // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身; // 采用这种方式的好处是:删除"tree的左子树中最大节点"之后,AVL树仍然是平衡的。 Node *max = avltree_maximum(tree->left); tree->key = max->key; tree->left = delete_node(tree->left, max); } else { // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等,或右子树比左子树高1) // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点 // (02)将该最小节点的值赋值给tree。 // (03)删除该最小节点。 // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身; // 采用这种方式的好处是:删除"tree的右子树中最小节点"之后,AVL树仍然是平衡的。 Node *min = avltree_maximum(tree->right); tree->key = min->key; tree->right = delete_node(tree->right, min); } } else { Node *tmp = tree; tree = tree->left ? tree->left : tree->right; free(tmp); } } return tree;}Node * avltree_delete(AVLTree tree, Type key){ Node *z; if ((z = avltree_search(tree, key)) != NULL) tree = delete_node(tree, z); return tree;}void destroy_avltree(AVLTree tree){ if (tree==NULL) return ; if (tree->left != NULL) destroy_avltree(tree->left); if (tree->right != NULL) destroy_avltree(tree->right); free(tree);}void print_avltree(AVLTree tree, Type key, int direction){ if(tree != NULL) { if(direction==0) // tree是根节点 printf("%2d is root\n", tree->key, key); else // tree是分支节点 printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree->key, key, direction==1?"right" : "left"); print_avltree(tree->left, tree->key, -1); print_avltree(tree->right,tree->key, 1); }} int main(int argc, char** argv) { static int arr[]= {3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9}; int i,ilen; AVLTree root=NULL; printf("== 高度: %d\n", avltree_height(root)); printf("== 依次添加: "); ilen = TBL_SIZE(arr); for(i=0; i<ilen; i++) { printf("%d ", arr[i]); root = avltree_insert(root, arr[i]); } printf("\n== 前序遍历: "); preorder_avltree(root); printf("\n== 中序遍历: "); inorder_avltree(root); printf("\n== 后序遍历: "); postorder_avltree(root); printf("\n"); printf("== 高度: %d\n", avltree_height(root)); printf("== 最小值: %d\n", avltree_minimum(root)->key); printf("== 最大值: %d\n", avltree_maximum(root)->key); printf("== 树的详细信息: \n"); print_avltree(root, root->key, 0); i = 8; printf("\n== 删除根节点: %d", i); root = avltree_delete(root, i); printf("\n== 高度: %d", avltree_height(root)); printf("\n== 中序遍历: "); inorder_avltree(root); printf("\n== 树的详细信息: \n"); print_avltree(root, root->key, 0); // 销毁二叉树 destroy_avltree(root);return 0;}
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