平衡树学习笔记

noip前整个机房除了我都在学treap，都相信noip2017会考平衡树

可是我不相信

然而真的考了平衡树（非正解）

现在整个机房就我在学平衡树（其他人都是英才计划某大学教授的影响去搞开(xie)发(jiao)了，好好一门竞赛，全机房除了我和常老师都在搞开发，这什么情况qwq）

非旋treap(fhq treap)

我真的没有先学splay，第一个接触的平衡树是非旋treap

概念

它的每个节点的权值val满足排序二叉树的性质，随机权值key满足堆的性质。由于key是随机的所以它总体上来说是平衡的

非旋的treap有两个基本操作

合并：merge(x,y)将x,y合并

分裂：splite(x,val,new1,new2)将以x为根节点的树按照w < val和w>=val分成两个子树new1,new2

具体操作

merge(x,y)

• 若x的key< y的key则将x的右儿子变为merge(x的右儿子，y)（即merge(tree[x].r,y)）
• 否则将y的左儿子变为merge(x，y的左儿子)（即merge(x,tree[y].l)）

split(x,val,new1,new2)

• 若t[x].w

插入操作

找到x所在位置，将其分开，再合并(l,x) (x,r)

删除操作

找到x所在位置，将其与左右分开，然后再合并左右两部分

code(bzoj3224普通平衡树)

模板中包括查询，求前驱后继，插入，删除功能

#include<iostream>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>#include<algorithm>#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)#define ll long long#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)using namespace std;inline ll read(){    ll f=1,x=0;char ch=getchar();    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}    return x*f;}const int maxn=1e5+6;struct tree{int l,r,size,w,f;}t[maxn<<1];int n,len=0,root=0;inline int getrank(){return (rand()<<16)+rand();}void change(int x){    if(x==0)return;    t[x].size=t[t[x].l].size+t[t[x].r].size+1;}int merge(int x,int y){    if(x==0||y==0)return x+y;    if(t[x].f>t[y].f){        t[x].r=merge(t[x].r,y);change(x);return x;}    else{t[y].l=merge(x,t[y].l);change(y);return y;}}void splite(int x,int val,int &new1,int &new2){    if(x==0){new1=0;new2=0;return;}    if(t[x].w<val){        new1=x;splite(t[x].r,val,t[x].r,new2);    }else{new2=x;splite(t[x].l,val,new1,t[x].l);}    change(x);}int insert(int now,int want){    if(now==0)return want;    if(t[now].f>t[want].f){        if(t[now].w<t[want].w)t[now].r=insert(t[now].r,want);else t[now].l=insert(t[now].l,want);        change(now);return now;    }    splite(now,t[want].w,t[want].l,t[want].r);change(want);return want;}int find(int now,int want){    if(t[t[now].l].size==want-1)return t[now].w;    if(t[t[now].l].size>=want)return find(t[now].l,want);    return find(t[now].r,want-t[t[now].l].size-1);}int findleft(int now){while(t[now].l)now=t[now].l;return t[now].w;}int findright(int now){while(t[now].r)now=t[now].r;return t[now].w;}int main(){    srand(1125);    n=read();    mem(t,0);    rep(i,1,n){        int opt=read();        if (opt==1){int x=read();t[++len].f=getrank();t[len].w=x;t[len].size=1;root=insert(root,len);}        else if(opt==2){int x=read(),new1,new2,new3;splite(root,x,new1,new2);splite(new2,x+1,new2,new3);root=merge(merge(new1,t[new2].l),merge(t[new2].r,new3));}        else if(opt==3){int x=read(),new1,new2;splite(root,x,new1,new2);printf("%d\n",t[new1].size+1);root=merge(new1,new2);}        else if(opt==4){int x=read();printf("%d\n",find(root,x));}        else if(opt==5){int x=read(),new1,new2;splite(root,x,new1,new2);printf("%d\n",findright(new1));root=merge(new1,new2);}        else{int x=read(),new1,new2;splite(root,x+1,new1,new2);printf("%d\n",findleft(new2));root=merge(new1,new2);}    }    return 0;}

splay

终于来填splay的坑了

具体操作

rotate

最关键的操作就是旋转辣

其中要涉及儿子节点，父节点，爷爷节点（就是父节点的父节点辣）的关系变化

具体的可以参见zyf巨佬的博文，很详细http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/50630280

void rotate(int x,int &k){    int y=fa[x],z=fa[y],l,r;    if(c[y][0]==x)l=0;else l=1;r=l^1;    if(y==k)k=x;    else{if(c[z][0]==y)c[z][0]=x;else c[z][1]=x;}    fa[x]=z;fa[y]=x;fa[c[x][r]]=y;    c[y][l]=c[x][r];c[x][r]=y;    pushup(y);pushup(x);}

splay(x,k)

这个操作将x一直旋转到目标位置k，就是不停调用rotate，为了防止平衡树失衡，要判断下此时旋转条件

void splay(int x,int &k){    while(x!=k){        int y=fa[x],z=fa[y];        if(y!=k){            if(c[y][0]==x^c[z][0]==y)rotate(x,k);            else rotate(y,k);        }        rotate(x,k);    }}

pushup/pushdown

传递区间翻转rev/区间更新tag标记，并更新左右子树大小，区间最大最小值

void pushup(int x){    int l=c[x][0],r=c[x][1];    size[x]=size[l]+size[r]+1;    mx[x]=max(v[x],max(mx[l],mx[r]));}void pushdown(int x){    int l=c[x][0],r=c[x][1],t=tag[x];    if(t){        tag[x]=0;        if(l){tag[l]+=t;mx[l]+=t;v[l]+=t;}        if(r){tag[r]+=t;mx[r]+=t;v[r]+=t;}    }    if(rev[x]){         rev[x]^=1;rev[l]^=1;rev[r]^=1;        swap(c[x][0],c[x][1]);    }}

find

类似于二叉搜索树，寻找x子树中大小为rank的节点位置

int find(int x,int rank){    if(rev[x]||tag[x])pushdown(x);    int l=c[x][0],r=c[x][1];    if(size[l]+1==rank)return x;    else if(size[l]>=rank)return find(l,rank);    else return find(r,rank-size[l]-1);}

rever

最关键的区间翻转操作

先找到区间左右端点l,r在树中的位置，将l节点旋转到root根节点，r节点旋转到x节点（此时根节点位置）的右儿子

其实r节点的左儿子就是要求翻转的区间辣，打上rev标记就可以了

常老师问我了个神奇的问题：rev标记在rotate的过程中会不会出错

实际上我们在区间查询，更新最值操作时候都会把左右端点旋转到根节点位置，此时子树rev标记情况和原始一样，不会影响答案

void rever(int l,int r){    int x=find(root,l),y=find(root,r+2);    splay(x,root);splay(y,c[x][1]);    int z=c[y][0];rev[z]^=1;}

code(bzoj3223文艺平衡树)

偷鸡策略：能写fhq treap的时候决不写splay

给出完整代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<cstdlib>#include<algorithm>#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)#define ll long long#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)using namespace std;inline ll read(){    ll f=1,x=0;char ch=getchar();    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}    return x*f;}const int maxn=1e5+6;int n,m,sz,rt,fa[maxn],c[maxn][2],id[maxn],size[maxn];bool rev[maxn];void pushup(int k){    int l=c[k][0],r=c[k][1];    size[k]=size[l]+size[r]+1;}void pushdown(int k){    int l=c[k][0],r=c[k][1];    if(rev[k]){        swap(c[k][0],c[k][1]);        rev[l]^=1;rev[r]^=1;        rev[k]=0;    }}void rotate(int x,int &k){    int y=fa[x],z=fa[y],l,r;    if(c[y][0]==x)l=0;else l=1;    r=l^1;    if(y==k)k=x;    else{        if(c[z][0]==y)c[z][0]=x;        else c[z][1]=x;    }    fa[x]=z;fa[y]=x;fa[c[x][r]]=y;    c[y][l]=c[x][r];c[x][r]=y;    pushup(y);pushup(x);}void splay(int x,int &k){    while(x!=k){        int y=fa[x],z=fa[y];        if(y!=k){            if(c[y][0]==x^c[z][0]==y)rotate(x,k);            else rotate(y,k);        }        rotate(x,k);    }}int find(int k,int rank){    pushdown(k);    int l=c[k][0],r=c[k][1];    if(size[l]+1==rank)return k;    else if(size[l]>=rank)return find(l,rank);    else return find(r,rank-size[l]-1);}void rever(int l,int r){    int x=find(rt,l),y=find(rt,r+2);    splay(x,rt);splay(y,c[x][1]);    int z=c[y][0];    rev[z]^=1;}void build(int l,int r,int f){    if(l>r)return;    int now=id[l],last=id[f];    if(l==r){        fa[now]=last;size[now]=1;        if(l<f)c[last][0]=now;        else c[last][1]=now;        return;    }    int mid=(l+r)>>1;now=id[mid];    build(l,mid-1,mid);build(mid+1,r,mid);    fa[now]=last;pushup(mid);    if(mid<f)c[last][0]=now;    else c[last][1]=now;}int main(){    n=read(),m=read();    rep(i,1,n+2)id[i]=++sz;    build(1,n+2,0);rt=(n+3)>>1;    rep(i,1,m){        int l=read(),r=read();        rever(l,r);    }    rep(i,2,n+1)printf("%d ",find(rt,i)-1);    return 0;}