可测空间、测度空间及σ-代数

“一个村子里有一个理发师，他在自己的理发店立了块招牌，说他只给村子里那些不给自己理发的人理发。然后有个人问他：“您的头发由谁来理？” 

       定义为A={x|x不属于A}。设想，假设有一个元素x不属于A，那么它就满足A的定义，所以x就应该属于A；而如果x属于A，那么它就不满足A的定义，因此就应该不属于A。无论如何，都会产生矛盾。

（1）罗素上个世纪提出了一个悖论，使得集合论的推理发生了严重的危机，也就是说基本的假设按照通常的推理会出现问题，这个问题大家又解决不了，但这个世界上聪明人很多，既然解决不了那就不解决，把这个问题绕过去，于是可测集的概念就应运而生，不是对那种极端的情况处理不了吗，那就不考虑极端的情况，把能处理的情况放在一起，这样推论就不会产生矛盾了。X是任意集合，F是把X中极端的情况去掉后由X的子集所组成的集合，这样去掉了不能处理的集合，剩下来的都是可以处理的，所以（X，F）就叫可测集了，不知道这样解释能不能懂。 

  

（2）空间往往是带有一定结构或运算的集合，而不是简单的集合。例如，

        1、在集合X中的任意两个元素x，y之间定义距离d（x，y），d满足距离概念的基本要求，那么（X，d）这个二元组就叫做一个距离空间。有时候简称X为距离空间，但不能忘了那个d；  

        2、将集合X的一些子集放到一起记做O，要求O里的元素满足一定的条件，例如对有限交和任意并封闭，包含X和空集，那么（X，O）叫做拓扑空间，O里的元素叫开集。这是学习概率论的必备空间； 

        3、如果在对X中元素之间定义了顺序关系<，满足一定的要求，例如传递性等，那么（X，<）叫序空间。  

        4、定义了代数运算的集合叫代数空间；  

等等。数学的每个分支基本上都是在某个空间讨论问题，而不是一个孤零零的集合。 

 

（3）什么是可测空间呢？二元组（X，F），但是记住F只要满足三个条件就可以了，这样的话我们就可以对F中的元素定义测度了，所以F中的元素叫可测集。  

       但是这时许多人会犯一个致命的错误，认为对F加了限制，排除了一些不可测集。其实我们可以取F为X的子集全体，这时（X，F）就是一个可测空间，我们可以给F中的元素定义测度。  

       问题出在哪里呢？把可测空间和测度空间的概念混淆了，出在“定义测度”这个步骤！定义了测度（例如记做m）的可测空间叫测度空间，记做（X，F，m），是个三元组。  

       F取得太大，可能导致无法定义合适的测度。例如取R的全体子集作为F，那么我们没有办法将区间长度这个合适的测度概念定义在F的每个元素上，F太大了。缩小F为小一点的σ域F'，使得F' 包括所有的区间，而且其中的元素都有测度L，而且L是区间长度概念的自然推广，就得到所谓勒贝格测度空间(R,F',L)，F' 中的元素叫勒贝格可测集，而相应的测度L叫勒贝格测度。  所以可测空间中的可测集和测度无关，测度空间中的可测集和测度有关。        概率论研究的概率空间就是一个测度空间（X，F，P），其中P是定义在F中的测度，叫概率测度。集合X我们一般叫做样本空间，F中的元素叫可测集，但是我们更愿意叫做事件，而把F叫做事件域。任取F中元素A，它是X的子集，这时是一个事件，它的测度P（A）就是事件A的概率。可见这三元组（X，F，P）中的东西缺一不可。   

（4）更进一步地讲： 

        1、在集合X中的任意两个元素x，y之间定义距离d（x，y），d满足距离概念的基本要求，那么（X，d）这个二元组就叫做一个距离空间。有时候简称X为距离空间，但不能忘了那个d；   

        2、将集合X的一些子集放到一起记做O，要求O里的元素满足一定的条件，例如对有限交和任意并封闭，包含X和空集，那么（X，O）叫做拓扑空间，O里的元素叫开集。这是学习概率论的必备空间；  

（5）进一步对可测空间和测度空间讨论： 我们知道任一事件都是样本空间的子集，但样本空间的子集却不一定是事件。为了讨论方便，还是用一个比较好理解的现象作一个比喻。 

假设研究人的性取向，这样样本空间X={男，女，不男不女}，由于不男不女不好确定其性取向，这样在研究时就将这种情况排出，只研究男和女。或者说，样本空间是Ω={全体男人和女人}，是个有限集，其对应的事件域取F={Ω的子集全体}完全可以，(Ω, F)就是可测空间。你说的性取向问题对应的F上的概率测度P是未知的，需要用统计方法确定。更常见的做法是在(Ω, F,P)上定义一个随机变量，用统计方法确定随机变量的分布而不是P本身。例如任取ω∈Ω，定义 

X(ω)=0,若ω是和尚， X(ω)=1,若ω是尼姑， X(ω)=2,若ω是丈夫， X(ω)=3,若ω是妻子， X(ω)=4，其他。 再定义 

N(ω)=-1，若ω是情人中的男子， N(ω)=1，若ω是情人中的女子， N(ω)=0，其他。 

      这样的话，你说的那些事件就可以用随机变量表达清楚了。

      例如      A={X=0}就是和尚的全体，B={1

       你完全可以只取Ω的部分子集作为σ域子，例如和尚全体A，尼姑全体B，丈夫全体为C，妻子全体为D，男同性恋全体E，女同性恋全体F，将这些集合及其这些集合的交，并，补等放到一起构成一个σ域F' 来研究，这时(Ω, F' )是可测空间，但是这不能保证你可以在(Ω, F' ,P)上定义足够多的随机变量。总之，σ域要大到将你感兴趣的所有事件都包括进去且满足基本数学要求。  

（6）样本空间就是一个集合，事件必须是其子集。反之不然。再举一例：  

        掷一颗骰子，则可取Ω={1,2,3,4,5,6}, F为其子集全体，F把你能考虑到的事件都包括进去了。定义X=1，2，3，4，5，6对应相应的点数，则(Ω, F)是一个可测空间，X是(Ω, F,P)上随机变量，例如A={X<4}表示点数不超过3这个事件。用统计方法搞清楚X的分布，就搞清楚测度P了。如果要考虑点数不超过3时甲赢，否则甲输这样的问题，定义Y=1，若点数为1，2，或3；否则Y=-1，则Y也是随机变量。搞清楚Y的分布就是你的任务了，不一定要求出概率测度P。当然能求出来最好。 

        这时其实你可以取事件域F' ={{1,2,3},{4,5,6},Ω,Φ}，当然这个事件域比F小多了。(Ω, F' )也是一个可测空间，但是你不能在(Ω, F' ,P' )上定义足够多的随机变量。例如上面那个X就不是这个概率空间上的随机变量，比如{X<5}就不是F'中的元素，故X不是随机变量。但是Y显然在这里还是随机变量。当然这个P'也不是那个P了。不过这对你的问题已经足够了。 可测空间取多大？依问题需要和数学要求而定