关于求最大公约数gcd的一些证明
来源:互联网 发布:js 获取tr 再获取td 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 22:52
原文地址:http://blog.sina.com.cn/s/blog_6938cd0501010pj1.html
辗转相除法的证明
设两数为a、b(b<a),求它们最大公约数的步骤如下:用b除a,得a=bq+r(0≤r<b)(q是这个除法的商)。若r=0,则b是a和b的最大公约数。若r≠0,则继续考虑。
首先,应该明白的一点是任何 a 和 b 的公约数都是 r 的公约数。要想证明这一点,就要考虑把 r 写成 r=a-bq。现在,如果 a 和 b 有一个公约数 d,而且设 a=sd , b=td, 那么 r = sd-tdq = (s-tq)d。因为这个式子中,所有的数(包括 s-tq )都为整数,所以 r 可以被 d 整除。
对于所有的 d 的值,这都是正确的;所以 a 和 b 的最大公约数也是 b 和 r 的最大公约数。因此我们可以继续对 b 和 r 进行上述取余的运算。这个过程在有限的重复后,可以最终得到 r=0 的结果,我们也就得到了 a 和 b 的最大公约数。
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