bzoj 2461: [BeiJing2011]符环

2461: [BeiJing2011]符环

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Description

  在可以炼制魔力强大的法杖的同时，Magic Land 上的人们渐渐意识到，魔力
强大并不一定能给人们带来好处——反而，由此产生的破坏性的高魔力释放，给
整个大陆蒙上了恐怖的阴影。 
 
  可控的魔力释放，成为了人们新的追求。这种控制魔力释放的技术，也就是
被现在的我们熟知的“魔法”。在远古时期，“魔法”由法师们口口相传，但也因
为这样，很多“古代魔法”已经成为传说——因为那时没有良好的记录魔法的方
法。 
 
  后来，天才法师Ferdinand 发现了一种记录魔法的方法：将一种特殊材料做
成的正反面均有 1行 N列格子的带子的一端扭转 180度之后与另一端粘贴，
这样就得到了一个仅有一面的环，被称为“符环” （Spell Ring） 。 
   符环上的某一个格子为“起始位”，并标有起始方向，这样，我们就可以给
这个环上的每一个格子进行编号： 起始位编号是 0，向起始方向移动一格为 1，
这样，一共有 2N 个格子，并且第 i 个格子的背面（虽然带子是一面的，但
是仍然有“背面”这个概念）是第(i+N) mod N 格。 
 
  法师们将魔法用一个由魔法标记“（”和“）”组成的串表示。人们发现，
所有魔法对应的串都为合法的括号序列，并且任何一个合法的括号序列都
对应一个魔法。可以发现，合法的括号序列长度均为偶数，这样就可以把一个
魔法写在符环之中：从起始格开始，向起始方向，依次写入魔法标记。 
 
  这种特殊的材料使得符环带有美丽的色彩：假如一个格子的两面写有相同
的魔法标记（即：假设这个带子是透明的，两个魔法标记重合），那么这
个格子会变为绯红色（Scarlet） ；反之，若两面的魔法标记不同，会变为深
蓝色（Deep blue）。 
   现在，你得到了一些古代的符环，由于年代久远，魔法标记已经变得模糊不
清，但是颜色依然保持完好。你希望知道：给定的颜色信息，对应了多少种
不同的魔法？

Input

第一行包含一个正整数T，表示符环的数量。 
  接下来的 T 行，每一行包含一个符环的颜色信息： 
一个长度为 N的由大写字母“S”和“D”组成的字符串。 
“S”表示绯红色（Scarlet），“D”表示深蓝色（Deep blue）。 
从左到右依次为第 0、1、……、N-1 个格子的颜色。

Output

包含T 行： 
每行一个正整数，表示该符环对应的不同魔法的数量。

Sample Input

3
D
SSD
SDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSDSD

Sample Output

1
1
0

HINT

第一张符环对应了唯一的魔法“（）”。 

第二张符环对应了唯一的魔法“（）（（））”。 

对于第三张符环，它的长度为50，颜色是交替的。可以证明，它不能对应任

何魔法。

 对于全部的数据：N ≤ 50，T ≤ 10。

Source

题解：高维DP+记忆化搜索

f[now][x][y][z]表示第now 位，左边有x个“（”，右边有Y个“）”，右边有z个未匹配的“（”

然后就可以进行转移了。

分类讨论：

如果s[now]==‘S’，即当前位是什么，后面对于的就会增加什么。

若当前位放置（ ，那么对于下一位x+1, 那么相应的他的右边也增加了一个（ 且未匹配

若当前位放置），因为如果左边只剩下了一个），而没有（与之匹配，那么这个括号序列显然是不合法的，所有只有当前位置左边有（ 的时候，才可以放置），那么他右边也相应的增加了一个），这时候如果右边有还未匹配的（，就让增加的）与他匹配的到的状态就是now+1,x-1,y,z-1,如果右边不存在未匹配的（，那转移的状态就是now+1,x-1,y+1,z;

如果s[now]=='D', 即后面放置的会与当前位相反。

若当前位的x不为0，则可以放置），那么右边就会增加一个（，所以z+1

若当前位放置（，那么右边会增加），先满足z，如果z不为0，那么z-1否则y+1.

最后n位放置完了，如果x==y&&z==0 ,那么当前放置满足条件，答案++（注意在整个转移的过程中y，是不会减小的，与y匹配的只能是前面x剩余的括号，而新增的（，）都会先跟新z的值，先满足z，保证后面的括号都是成对的）

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#define N 53using namespace std;int n,t;long long dp[N][N][N][N];char s[N];long long  dfs(int now,int x,int y,int z){ if (now==n+1)  return x==y&&!z; long long &ans=dp[now][x][y][z]; if (ans!=-1) return ans;//记忆化，搜索过的就不要在搜了 ans=0; if (s[now]=='S') {  ans+=dfs(now+1,x+1,y,z+1);  if (x)   if (z) ans+=dfs(now+1,x-1,y,z-1);    else  ans+=dfs(now+1,x-1,y+1,z);  } else  {    if (x)  ans+=dfs(now+1,x-1,y,z+1);    if (z)  ans+=dfs(now+1,x+1,y,z-1);else ans+=dfs(now+1,x+1,y+1,z);   } return ans;}int main(){  freopen("mobius.in","r",stdin);  freopen("mobius.out","w",stdout);  scanf("%d",&t);  for (int i=1;i<=t;i++)  {  memset(dp,-1,sizeof(dp));  scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1);  printf("%lld\n",dfs(1,0,0,0));  }}