leetcode 120. Triangle

　这题要求对给出的三角形，求出一条自顶点向下的路径，使得路径上的数字的和最小，每次向下移动时只能选择相邻的点，比如从样例中的第二层3，只能到下一层的6或5，而不能到7。题目要求空间复杂度为O(n)，n为三角形中所有数字的个数。

　通过分析这个问题，我们可以发现，如果我们自底向上求解，那么某层每个点对应的最小路径就是它本身的值，加上下一层与它相邻的两个结点的最小路径的值（最底层可以看做是下一层相邻结点的最小路径都是0，因此每个点对应的最小路径与它本身的值相等）。因此这是一个具有最优子结构的问题，我们可以采用动态规划的方法，保存每一层的点对应的最小路径，然后在求上一层的点的最小路径时，用这个点的值加上下一层相邻两点中最小路径的较小值即可（可见每次计算完某一层之后，其下一层的最短路径就没有作用了，因此只需要一个长度为三角形底边数字个数的一维数组作为额外的空间开销）。一直进行这个过程到三角形顶层，我们就可以得到从顶点开始到最底层的数字和为最小的路径。

　代码实现如下：

class Solution {public:    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {        //  获取层数        int layerCount = triangle.size();        //  最后一层的每个点对应的最小路径为结点的值本身        vector<int> minLen(triangle.back());        for (int i = layerCount - 2; i >= 0; i--) {            for (int j = 0; j <= i; j++) {                //  从最底层到该点的最小路径为：它下一层相邻两点最小路径的最小值+该点本身的值                minLen[j] = min(minLen[j], minLen[j + 1]) + triangle[i][j];            }        }        return minLen[0];    }};