【XSY2524】唯一神 状压DP 矩阵快速幂 FFT

题目大意

　　给你一个网格，每个格子有概率是1或是0。告诉你每个点是0的概率，求1的连通块个数modd=0的概率。

　　最开始所有格子的概率相等。有q次修改，每次修改一个格子的概率。要求输出初始时和每次修改后的概率。

　　n≤200000,m≤3,d≤10,q≤1000

题解

　　很容易想到状压DP：前i行在第i行的状态为j时连通块个数模d=k的概率。

　　当m=3时每行状态有9个。

　　然后用矩阵快速幂+线段树优化。

　　显然会TLE。

　　观察下状态转移方程：

fi+1,j′,k′+=fi,j,k×b

　　容易发现Δk=k′−k与j无关。设

gi,j=∑k=0d−1fi,j,kxk

　　g的每次转移就等于乘上一个多项式。

　　而且这是循环卷积（长度为d）。

　　我们可以在最开始先做一遍长度为d的DFT（直接暴力d2），每次询问时把点值加起来做一遍IDFT，就可以得到多项式的常数项，也就是说我们想要的答案。

　　时间复杂度：O(qs3dlogn)

代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<utility>#include<cmath>#include<functional>#include<map>using namespace std;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef pair<int,int> pii;typedef pair<ll,ll> pll;void sort(int &a,int &b){    if(a>b)        swap(a,b);}void open(const char *s){#ifndef ONLINE_JUDGE    char str[100];    sprintf(str,"%s.in",s);    freopen(str,"r",stdin);    sprintf(str,"%s.out",s);    freopen(str,"w",stdout);#endif}int rd(){    int s=0,c;    while((c=getchar())<'0'||c>'9');    do    {        s=s*10+c-'0';    }    while((c=getchar())>='0'&&c<='9');    return s;}void put(int x){    if(!x)    {        putchar('0');        return;    }    static int c[20];    int t=0;    while(x)    {        c[++t]=x%10;        x/=10;    }    while(t)        putchar(c[t--]+'0');}int upmin(int &a,int b){    if(b<a)    {        a=b;        return 1;    }    return 0;}int upmax(int &a,int b){    if(b>a)    {        a=b;        return 1;    }    return 0;}const ll p=370137601;const ll g=37;ll fp(ll a,ll b){    ll s=1;    for(;b;b>>=1,a=a*a%p)        if(b&1)            s=s*a%p;    return s;}struct mat{    ll a[10][10];    mat()    {        memset(a,0,sizeof a);    }    ll *operator [](int x)    {        return a[x];    }};int sz;mat operator *(mat &a,mat &b){    mat c;    int i,j,k;    for(i=1;i<=sz;i++)        for(j=1;j<=sz;j++)        {            __int128 s=0;            for(k=1;k<=sz;k++)                s+=__int128(a[i][k])*b[k][j];            c[i][j]=s%p;        }    return c;}int level[200010];mat w[11][20];struct seg{    struct node    {        mat *s;        int l,r,ls,rs;    };    node a[270000];    int cnt;    int rt;    void build(int &p,int l,int r,int k)    {        p=++cnt;        a[p].l=l;        a[p].r=r;        a[p].s=&w[k][level[r-l+1]];        if(l==r)            return;        int mid=(l+r)>>1;        build(a[p].ls,l,mid,k);        build(a[p].rs,mid+1,r,k);    }    void insert(int p,int x,mat &v)    {        if(a[p].l==a[p].r)        {            a[p].s=new mat;            *a[p].s=v;            return;        }        int mid=(a[p].l+a[p].r)>>1;        if(x<=mid)            insert(a[p].ls,x,v);        else            insert(a[p].rs,x,v);        a[p].s=new mat;        (*a[p].s)=(*a[a[p].ls].s)*(*a[a[p].rs].s);    }};seg a[11];int n,m,k,q;ll c[200010][4];int dd[10][10];int bb[10][10];void get(ll *a,int x,int a1,int a2){    static ll b[10];    int i;    for(i=0;i<k;i++)        a[i]=0;    if(m==1)    {        b[1]=c[x][1];        b[2]=1-c[x][1];        a[dd[a1][a2]]=b[a2];//      for(l=0;l<k;l++)//          for(i=1;i<=sz;i++)//              for(j=1;j<=sz;j++)//                  s[id(l,i)][id((l+dd[i][j])%k,j)]=b[j];    }    else if(m==2)    {        b[1]=c[x][1]*c[x][2]%p;        b[2]=(1-c[x][1])*c[x][2]%p;        b[3]=c[x][1]*(1-c[x][2])%p;        b[4]=(1-c[x][1])*(1-c[x][2])%p;        a[dd[a1][a2]]=b[a2];//      for(l=0;l<k;l++)//          for(i=1;i<=sz;i++)//              for(j=1;j<=sz;j++)//                  s[id(l,i)][id((l+dd[i][j])%k,j)]=b[j];    }    else    {        b[1]=c[x][1]*c[x][2]%p*c[x][3]%p;        b[2]=(1-c[x][1])*c[x][2]%p*c[x][3]%p;        b[3]=c[x][1]*(1-c[x][2])%p*c[x][3]%p;        b[4]=c[x][1]*c[x][2]%p*(1-c[x][3])%p;        b[5]=(1-c[x][1])*(1-c[x][2])%p*c[x][3]%p;        b[6]=c[x][1]*(1-c[x][2])%p*(1-c[x][3])%p;        b[7]=(1-c[x][1])*(1-c[x][2])%p*(1-c[x][3])%p;        b[8]=b[9]=(1-c[x][1])*c[x][2]%p*(1-c[x][3])%p;        if(!bb[a1][a2])            a[dd[a1][a2]]=b[a2];//      for(l=0;l<k;l++)//          for(i=1;i<=sz;i++)//              for(j=1;j<=sz;j++)//                  if(!bb[i][j])//                      s[id(l,i)][id((l+dd[i][j])%k,j)]=b[j];    }}ll w1[200],w2[200];void dft(ll *a){    static ll s[20];    int i,j;    for(i=0;i<k;i++)    {        s[i]=0;        for(j=0;j<k;j++)            s[i]=(s[i]+a[j]*w1[i*j])%p;    }    for(i=0;i<k;i++)        a[i]=s[i];}void idft(ll *a){    static ll s[20];    int i,j;    for(i=0;i<k;i++)    {        s[i]=0;        for(j=0;j<k;j++)            s[i]=(s[i]+a[j]*w2[i*j])%p;    }    ll inv=fp(k,p-2);    for(i=0;i<k;i++)        a[i]=s[i]*inv%p;}ll d[20];void query(){    int i,j;    for(j=1;j<=k;j++)    {        d[j-1]=0;        mat s=*a[j].a[a[j].rt].s;        for(i=1;i<=sz;i++)            d[j-1]=(d[j-1]+s[1][i])%p;    }    idft(d);    ll ans=d[0];    ans=(ans+p)%p;    printf("%lld\n",ans);}int main(){    open("c");    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&q);    int i,j,l,o;    if(m==1)    {        sz=2;        dd[1][2]=1;    }    else if(m==2)    {        sz=4;        dd[1][2]=dd[1][3]=dd[1][4]=1;        dd[2][3]=1;        dd[3][2]=1;    }    else    {        sz=9;        for(i=2;i<=7;i++)            dd[1][i]=1;        dd[1][8]=2;        dd[2][3]=dd[2][4]=dd[2][6]=dd[2][8]=1;        dd[3][2]=dd[3][4]=1;        dd[3][8]=2;        dd[4][2]=dd[4][3]=dd[4][5]=dd[4][8]=1;        dd[5][4]=dd[5][8]=1;        dd[6][2]=dd[6][8]=1;        dd[8][7]=k-1;        dd[8][3]=1;        dd[9][3]=1;        bb[1][9]=bb[2][9]=bb[3][9]=bb[4][9]=bb[5][9]=bb[6][9]=bb[8][9]=1;        bb[7][8]=bb[9][8]=1;    }    w1[0]=w2[0]=1;    w1[1]=fp(g,(p-1)/k);    w2[1]=fp(w1[1],p-2);    for(i=2;i<=k*k;i++)    {        w1[i]=w1[i-1]*w1[1]%p;        w2[i]=w2[i-1]*w2[1]%p;    }    int x,y;    ll p0,q0;    scanf("%lld%lld",&p0,&q0);    p0=p0*fp(q0,p-2)%p;    for(i=1;i<=n;i++)        for(j=1;j<=m;j++)            c[i][j]=p0;    for(i=1;i<=sz;i++)        for(j=1;j<=sz;j++)        {            get(d,1,i,j);            dft(d);            for(l=1;l<=k;l++)                w[l][0][i][j]=d[l-1];        }    for(l=1;l<=k;l++)        for(i=1;i<=18;i++)            w[l][i]=w[l][i-1]*w[l][i-1];    level[0]=-1;    for(i=1;i<=n;i++)        level[i]=level[i>>1]+1;    for(i=1;i<=k;i++)        a[i].build(a[i].rt,1,n,i);    query();    mat now[11];    for(i=1;i<=q;i++)    {        scanf("%d%d%lld%lld",&x,&y,&p0,&q0);        p0=p0*fp(q0,p-2)%p;        c[x][y]=p0;        for(j=1;j<=sz;j++)            for(l=1;l<=sz;l++)            {                get(d,x,j,l);                dft(d);                for(o=1;o<=k;o++)                    now[o][j][l]=d[o-1];            }        for(j=1;j<=k;j++)            a[j].insert(a[j].rt,x,now[j]);        query();    }//  printf("sum=%d\n",sum);    return 0;}