第二章矩阵及其运算
§第二章第一节矩阵
一、矩阵的概念
定义1.由m×n个数a ij (i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)排成m行n列的数表a 11 a 21 ⋮a m1 a 12 a 22 ⋮a m2 ⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋮a mn 称为m行n列的矩阵,简称m×n矩阵.
为了表示它是一个整体,在这个数表的两边用大圆括弧把它范围起来,并用大写黑体字幕表示:A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 a 21 ⋮a m1 a 12 a 22 ⋮a m2 ⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋮a mn ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
例1.某厂向三个商店发送四种产品，其发送的数量和单价及单件的重量都可用矩阵来刻划.若用a ij 表示为工厂向第i店发送第j种产品数量,则矩阵A=⎛ ⎝ ⎜ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 14 a 24 a 34 ⎞ ⎠ ⎟
若用b i1 表示第i中产品的单价,用b i2 表示第i中产品单件的重量，则矩阵:B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ b 11 b 21 b 31 b 41 b 12 b 22 b 32 b 42 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 表示了这四种产品的单价及单件重量.
例2.四个城市间的单向航线如下图所示:
① ↔ ②
↕ ↘ ↓
③ ← ④
若令a ij ={1从i市到j市有一条单向航线0从i市到j市没有单向航线
则图中的航线用矩阵表示为
A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 0101 1010 1001 1000 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟
例3.n个变量x 1 ,x 2 ,⋯,x n 与m个变量y 1 ,y 2 ,⋯,y m 之间的关系
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y 1 =a 11 x 1 +a 12 x 2 +⋯+a 1n x n y 2 =a 21 x 1 +a 22 x 2 +⋯+a 2n x n ⋯⋯⋯⋯⋯y m =a m1 x 1 +a m2 x 2 +⋯+a mn x n
表示了一个从变量x 1 ,x 2 ,⋯,x n 到变量y 1 ,y 2 ,⋯,y m 的线性变换,其中a ij 为常数,这个线性变换的系数a ij 构成矩阵
A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 a 21 ⋮a m1 a 12 a 22 ⋮a m2 ⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋮a mn ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
二、矩阵的表示方法
1.可以用一个大写字母表示:A,B,C,D,E等
2.用大写字母加上下角标表示:A m×n ,B s×t
3.A=(a ij )或A=(a ij ) m×n 表示
三、几种特殊的矩阵
1.方阵
A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 a 21 ⋮a n1 a 12 a 22 ⋮a n2 ⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋮a nn ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
2.上三角矩阵(必须是方阵)
A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 0⋮0 a 12 a 22 ⋮0 ⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋮a nn ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
A=(a ij ) n×n (a ij =0,i>j)
B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ b 11 b 21 ⋮b n1 b 12 b 22 ⋮0 ⋯⋯⋯ b 1n 0⋮0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
3.下三角矩阵(必须是方阵)
A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 a 21 ⋮a n1 0a 22 ⋮a n2 ⋯⋯⋯ 00⋮a nn ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 00⋮b n1 ⋯⋯⋮b n2 0b 2(n−1) ⋯ b 1n b 2n ⋮b nn ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
4.对角矩阵
Λ=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ λ 1 0⋮0 0λ 2 ⋮0 ⋯⋯⋯ 00⋮λ n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
5.单位矩阵
E=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 10⋮0 01⋮0 ⋯⋯⋯ 00⋮1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
6.行矩阵(行向量)
A=(a 11 ,a 12 ,⋯,a 1n )
7.列矩阵(列向量)
B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ b 11 b 21 ⋮b m1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
8.零矩阵(可以不是方阵)
O=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 00⋮0 00⋮0 ⋯⋯⋱⋯ 00⋮0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
9.负矩阵
$设a = (a_{ij}){m \times n},称-A = (-a{ij})_{m \times n}\\
为矩阵A的负矩阵$
10.同型矩阵
两个矩阵的行数和列数分别相同的矩阵称为同型矩阵。
如A m×n 和B m×n 为同型矩阵.
11.对称矩阵
设A=(a ij ) m×n ,且a ij =a ji ,则称A为对称矩阵.
12.反对称矩阵
设A=(a ij ) m×n ,且a ij =−a ji ,则称A为反对称矩阵.
