矩阵 复习
概念:m×n个数a ij (i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)构成的数表
特殊矩阵⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 单位矩阵:主对角线元素都为1,其余元素全为0的n阶方阵对角矩阵:主对角线元素是λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ n ,其余元素都为0的n阶方阵对称矩阵:A T =A反对称矩阵:A T =−A三角矩阵:上三角矩阵,下三角矩阵数量矩阵
运算⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A+B=(a ij +b ij )A与B同型kA=(ka ij )AB=C其中c ij =∑ n k=1 a ik b kj ,A m×s ,B s×n ,C m×n A T :A T 的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必须是方阵.
伴随矩阵⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n阶行列式的|A|所有元素的代数余子式构成的矩阵A ∗ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ A 11 A 12 ⋯A 1n A 21 A 22 ⋯A 2n ⋯⋯⋯⋯ A n1 A n2 ⋯A nn ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟
逆矩阵⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 概念:如果AB=BA=E,则A可逆,B是A的逆矩阵.求法⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 用定义用伴随矩阵A −1 =1|A| A ∗ 分块对角矩阵 证法⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ |A|≠0,A可逆.|A|=0,A不可逆.AB=E,A与B互逆.反证法
分块对角矩阵(1)(A0 0B ) −1 =(A −1 0 0B −1 )(2)(0B A0 ) −1 =(0A −1 B −1 0 )
关于矩阵的乘法AB,注意当A的列数与B的行数相同时才可以相乘,而且矩阵乘法不满足交换律,消去律;即AB = AC时,不一定有B=C;AB = 0时,不一定有A = 0或B = 0;但是当A为方阵且可逆时,若AB = AC,AB = 0,则有B = C, B = 0.
(AB) T =B T A T ,(A+B) T =A T +B T
逆矩阵
(AB) −1 =B −1 A −1 ,(A+B) −1 ≠A −1 +B −1
例1.若n阶矩阵A的行列式为|A|=2,求:|3A|,|−A|,|A −1 |,|(4A) −1 −3A ∗ |.
解:|3A|=3 n |A|=2×3 n |−A|=(−1) n |A|=(−1) n ×2∵|A|=2,∴A可逆,|A −1 |=|1|A| A ∗ |=1|A| n |A ∗ |=1|A| n |A| n−1 =1|A| =12 |(4A) −1 −3A ∗ |=∣ ∣ ∣ 14 A −1 −3|A|A −1 ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ (14 −6)A −1 ∣ ∣ ∣ =(−234 ) n |A −1 |=12 (−234 ) n
例2.设A为n阶可逆矩阵,求(A ∗ ) −1
解:∵A −1 =1|A| A ∗ ∴A ∗ =|A|A −1 ∴(A ∗ ) −1 =(|A|A −1 ) −1 =A|A|
例3.设A=⎛ ⎝ ⎜ 100 010 002 ⎞ ⎠ ⎟ ,求A 4 ,A k ,A −1 .
解:A 4 =⎛ ⎝ ⎜ 1 4 00 01 4 0 002 4 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 100 010 0016 ⎞ ⎠ ⎟ A k =⎛ ⎝ ⎜ 1 k 00 01 k 0 002 k ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 100 010 002 k ⎞ ⎠ ⎟ 对角线矩阵的逆矩阵是把对角线元素变为倒数A −1 =⎛ ⎝ ⎜ 100 010 0012 ⎞ ⎠ ⎟
例4.设A、B为n阶方阵,且|A|=2,|B|=3,求|A T |,|−AB|
解:|A T |=|A| T =|A|=2,|−AB|=(−1) n |AB|=(−1) n |A||B|=(−1) n ×2×3=(−1) n ×6
例5.设α=(1,2,3),β=(1,12 ,13 ,A=α T β,其中α T 是α的转置,求A n
解:A=α T β=⎛ ⎝ ⎜ 123 ⎞ ⎠ ⎟ (1 12 13 )=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ 123 12 132 13 23 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ A 2 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ 123 12 132 13 23 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ 123 12 132 13 23 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ 369 32 392 123 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ =3A所以，A 3 =A 2 A=3AA=3A 2 =3×3A=3 2 AA n =3 n−1 A=3 n−1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ 123 12 132 13 23 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟
例6.求矩阵A=⎛ ⎝ ⎜ 1−32 −240 −151 ⎞ ⎠ ⎟ 求伴随矩阵A ∗ 和逆矩阵A −1 .
解:A ∗ =⎛ ⎝ ⎜ 413−8 23−4 −6−2−2 ⎞ ⎠ ⎟ |A|=∣ ∣ ∣ ∣ 1−32 −240 −151 ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ 3−130 −240 −151 ∣ ∣ ∣ ∣ =−14A −1 =1|A| A ∗ =−114 ⎛ ⎝ ⎜ 413−8 23−4 −6−2−2 ⎞ ⎠ ⎟
例7.设A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2−100 0100 001−1 0042 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,求A −1
解:将矩阵等分4块,A=(A 11 0 0A 22 )A 11 =(2−1 01 ),A 22 =(1−1 42 )A −1 11 =12 (11 02 ),A −1 22 =16 (21 −41 )A −1 =(A −1 11 0 0A −1 22 )=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 12 12 00 0100 0013 16 00−23 16 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
例8.已知A=⎛ ⎝ ⎜ 0−1−1 110 01−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,B=⎛ ⎝ ⎜ 125 −10−3 ⎞ ⎠ ⎟ ,且AX+B=X,求矩阵X
解:由AX+B=X,得(E−A)X=B∵E−A=⎛ ⎝ ⎜ 111 −100 0−12 ⎞ ⎠ ⎟ ,且|E−A|=3≠0,∴|E−A|可逆.∴X=(E−A) −1 B∵(E−A) −1 =13 ⎛ ⎝ ⎜ 0−30 22−1 111 ⎞ ⎠ ⎟ ∴X=13 ⎛ ⎝ ⎜ 0−30 22−1 111 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ 125 −10−3 ⎞ ⎠ ⎟ =13 ⎛ ⎝ ⎜ 963 −30−3 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 321 −10−1 ⎞ ⎠ ⎟
例9.设A=⎛ ⎝ ⎜ 101 020 101 ⎞ ⎠ ⎟ 矩阵X满足AX+E=A 2 +X,求矩阵X.
解:(A−E)X=A 2 −E(A−E)X=(A−E)(A+E)∵|A−E|=⎛ ⎝ ⎜ 001 010 100 ⎞ ⎠ ⎟ =−1≠0∴A−E可逆.(A−E)(A−E) −1 X=(A−E)(A−E) −1 (A+E)X=A+E=⎛ ⎝ ⎜ 201 030 102 ⎞ ⎠ ⎟
例10.设AP=PB,其中,B=⎛ ⎝ ⎜ 100 000 00−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,P=⎛ ⎝ ⎜ 100 0−10 101 ⎞ ⎠ ⎟ 求A及A 5
解:|P|=∣ ∣ ∣ ∣ 100 0−10 101 ∣ ∣ ∣ ∣ =−1≠0,P可逆P ∗ =⎛ ⎝ ⎜ −100 010 10−1 ⎞ ⎠ ⎟ P −1 =1|P| P ∗ =−⎛ ⎝ ⎜ −100 010 10−1 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 100 0−10 −101 ⎞ ⎠ ⎟ A=APP −1 =PBP −1 =⎛ ⎝ ⎜ 100 0−10 101 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ 100 000 00−1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ 100 0−10 −101 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 100 000 −10−1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ 100 0−10 −101 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 100 000 −20−1 ⎞ ⎠ ⎟ A k =(PBP −1 ) k =PB k P −1 A 5 =PB 5 P −1 =⎛ ⎝ ⎜ 100 0−10 101 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ 100 000 00−1 ⎞ ⎠ ⎟ 5 ⎛ ⎝ ⎜ 100 0−10 −101 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 100 0−10 101 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ 1 5 00 000 00(−1) 5 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ 100 0−10 −101 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 100 0−10 101 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ 100 000 00−1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ 100 0−10 −101 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 100 000 −20−1 ⎞ ⎠ ⎟
例11.设A,B均为n阶矩阵,如果AB可逆,则A,B均为可逆矩阵.
证:∵AB可逆,∴|AB|≠0,即|A||B|≠0∴|A|≠0,|B|≠0∴A,B均为可逆矩阵.
例12.设A,B均为n阶矩阵,且A=12 (B+E),证明A 2 =A,当且仅当B 2 =E.
证:若A 2 =A,则有A(A−E)=0,12 (B+E)[12 (B+E)−E]=014 [(B+E)(B−E)]=0B 2 −E 2 =0B 2 −E=0B 2 =E若B 2 =EA 2 =[12 (B+E)] 2 =14 (B 2 +2BE+E 2 )=14 (B 2 +2B+E)=14 (E+2B+E)=12 (B+E)=A
例13.已知n阶方阵A满足E−A+A 2 =0,证明A可逆.
证:E−A+A 2 =0A−A 2 =EA(E−A)=E∴A可逆.
例14.设A,B为n阶方阵,且A为对称矩阵,证明:B T AB也是对称矩阵.
证:∵A为对称矩阵,∴A T =A∵(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB∴B T AB为对称矩阵
例15.已知n阶方阵A满足A 3 =4E,证明:A−E,A−2E均可逆.
证:A 3 =4EA 3 −E=3EA 3 −E 3 =3E(A−E)(A 2 +A+E 2 )=3E(A−E)(A 2 +A+E)=3E(A−E)[13 (A 2 +A+E)]=E∴A−E可逆.(A−E) −1 =13 (A 2 +A+E).又：A 3 =4EA 3 −8E=−4E(A−2E)(A 2 +2AE+4E 2 )=−4E(A−2E)(A 2 +2A+4E)=−4E(A−2E)[−14 (A 2 +2A+4E)]=E∴A−2E可逆.(A−2E) −1 =−14 (A 2 +2A+4E).
例16.如果矩阵A满足A T =−A,则称A为反对称矩阵,证明:任一n阶方阵B均可表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和.
证:∵B=B+B2 =B−B T +B T +B2 =12 (B−B T )+12 (B T +B)∵[12 (B−B T )] T =12 (B T −B)=−12 (B−B T )∴12 (B−B T )是反对称矩阵.又∵[12 (B T +B)] T =12 (B+B T )=12 (B T +B)∴=12 (B T +B)是对称矩阵.∴任一n阶方阵B均可表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和.
例17.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A ∗ ,证明:1.若|A|=0,则|A ∗ |=0,2.|A ∗ |=|A| n−1 .
证:1.假设|A ∗ |≠0,则A ∗ 可逆,令B=(A ∗ ) −1 (A ∗ ) −1 A ∗ A=(A ∗ ) −1 |A|E∵|A|=0∴(A ∗ ) −1 A ∗ A=0EA=0A=0A ∗ =0∴|A ∗ |=0,与假设矛盾,∴|A ∗ |=02∵A ∗ A=|A|E∴|A ∗ A|=||A|E|=|A| n |E|=|A| n ∴|A ∗ ||A|=|A| n 若|A|≠0,则|A ∗ |=|A| n−1 若|A|=0,|A| n−1 =0由1.知|A ∗ |=0,∴|A ∗ |=|A| n−1
例18.设n阶矩阵A及m阶矩阵B都可逆,求(0B A0 ) −1
解:设(0B A0 ) −1 为(X 1 X 3 X 2 X 4 )其中X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 为待定矩阵.则由(0B A0 )(X 1 X 3 X 2 X 4 )=(E 1 0 0E 2 ),E 1 ,E 2 为单位矩阵.即(AX 3 BX 1 AX 4 BX 2 )=(E 1 0 0E 2 ),∴AX 3 =E 1 ,AX 4 =0,BX 1 =0,BX 2 =E 2 ∴X 3 =A −1 ,X 4 =0,X 1 =0,X 2 =B −1 ∴(0B A0 ) −1 =(0A −1 B −1 0 )
例19.设A、B、A+B、A −1 +B −1 均为可逆矩阵,则(A −1 +B −1 ) −1 为( B ).
A.A+B;B.A(A+B) −1 B;C.A −1 +B −1 ;D.(A+B) −1 .
解:B.(A −1 +B −1 )A(A+B) −1 B=(A −1 +B −1 )[B −1 (A+B)A −1 ] −1 =(A −1 +B −1 )(B −1 AA −1 +B −1 BA −1 ) −1 =(A −1 +B −1 )(B −1 +A −1 ) −1 =E
