大话数据结构笔记-图

定义

图(Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为
G(V,E)，
其中
G表示一个图，
V是图G中的顶点的集合，
E是图G中边的集合。

顶点就是图中的数据元素。

在图中任意两个顶点都可能存在关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示。

无向边：若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边(Edge)，用无序偶对(Vi,Vj)来表示。

如果图中任意两个顶点之间都是无向边，则称为 无向图

有向边：若顶点Vi到Vj之间的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧(Arc)。

起点是 弧尾，终点为 弧头,

顶点与边的关系

• 对于无向图G=(V,{E}),如果边(v,v’)包含于E
• 则称顶点v和v’互为 邻接点(Adjacent),即v与v’相邻接。
• 边(v,v’)依附于顶点v与v’.或者说(v,v’)与顶点v和v’相关联。

• 顶点v的度是和v相关联边的数目。记为TD(v).

• 对于有向图=(V,{E}),如果弧<v,v'>包含于E

• 则称顶点v和v’互为 邻接点(Adjacent),即v与v’相邻接。
• 弧<v,v'>依附于顶点v与v’.或者说<v,v'>与顶点v和v’相关联。
• 顶点v为头的弧的数目称为v的入度，记为ID(v).
• 顶点v为尾的弧的数目称为v的出度，记为OD(v).
• 顶点v的度为TD(v)=ID(v)+OD(v)

无向图G=(V,{E})中从顶点v到顶点v’的路径(Path)是一个顶点序列?

路径的长度为路径上的边或弧的数目。

• 第一个顶点到最后一个顶点相同的路径叫做 回路或环。
• 序列中顶点不重复的路径称为 简单路径。
• 除了第一个和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为 简单回路或 简单环。

连通图相关术语

在无向图G中，如果从顶点v到顶点v’有路径，则称v和v’是 连通的。
如果对于图中任意两个顶点vi，vj属于V，vi，vj都是联通的，则称G为 连通图。

无向图中的极大连通子图称为连通分量。
要有子图，
子图是连通的，
连通子图含有极大顶点数，
具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

在有向图中，如果对于每一对vi，vj包含于V，vi不等于vj,从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量。

存储结构

邻接矩阵

• 图的 邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。
• 一个一维数组存储图中顶点的信息，
• 一个二维数组(邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。

//就是说一个数组存储点：array = [v0, v1, v2, v3]

一个二维数组存储边(弧)的信息：

- v0 v1 v2 v3 v0 0 1 1 1 v1 1 0 1 0 v2 1 1 0 1 v3 1 0 1 0

对于无向图，vi行或列就为vi的度。例如v1的度为2

对于有向图，行为出度，列为入度。

邻接表

数组于链表相组合的储存方法成为邻接表

• 用一组数组存储顶点，和指针地址，(有些还要存储数据，权值)。
• 每个数据元素的指针域存储下一个邻接点的指针。
• 每个顶点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以使用单链表存储。
• 对于有向图，每个顶点都建立以本顶点为弧头的表。

(data, [weight], index)

个人理解，邻接表就是用一组链表表示图。

十字链表

为了补足邻接表的缺陷。

邻接表只能表示出度，想要了解入度需要遍历整个表，所以为了方便获得每个顶点的入度，在每个数据元素中加入了一个指针指向表的入度。

(data, firstin)->(tailvex, headvex, headlink, tailink)

邻接多重表

相对于无向图，如果我们需要删除一条边，我们需要寻找两个节点，为了简化这一操作，我们在每个数据元素上加一个指针指向另一个顶点。

(ivex, ilink, jvex, jlink)

• ivex和jvex是于某条边依附的两个顶点在顶点表中的下标。
• ilink指向依附顶点ivex的下一条边。
• jlink指向依附顶点jvex的下一条边。

边集数组

边集数组是有两个一维数组构成。一个存储顶点信息：另一个存储边的信息，这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标（begin）、终点下标（end）和权（weight）组成。

(begin, end, weight)

图的遍历

希望从图的某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅访问一次，这一过程就叫做图的遍历。

深度优先遍历

深度优先遍历（Depth_First_Search），也有称为深度优先搜索，简称DFS。

就是一棵树一棵树遍历。

从图中某一顶点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径想通的顶点都被访问到。
若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作为起始点，重复上述过程，直至图中全部顶点都被访问到为止。

广度优先遍历

广度优先遍历(Breadth_First_Search)，又称为广度优先搜索，简称BFS。

就是，一层一层遍历。

最小生成树

我们吧构造联通网的最小代价生成树成为最小生成树。（Minimum Cost Spanning Tree）

普里姆算法

Prim

以某定点为起点，逐步查找个顶点上的最小权值的边来构建最小生产树。

克鲁斯卡尔算法

Kruskal

假设N=（V，{E}）是联通图，则最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非联通图T={V, {}}，图中每个顶点自成一个联通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的联通分量上，则将此边加入T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。以此类推，直到T中所有顶点都在同一联通分量上为止。

对比两个算法。
- 克鲁斯卡尔算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高。
- 普里姆算法主要针对稠密图，即边数非常多的情况会更好一些。

最短路径

对于网图来说，最短路径，是指两顶点之间经过的边上权值之和最少路径，并且我们称路径上的第一个顶点是源点，最后一个顶点是终点。

迪杰斯特拉算法

按路径长度递增的次序产生最短路径算法。

弗洛伊德算法

如果面临要求所有顶点至所有顶点的最短路径问题，弗洛伊德算法应该是不错的选择。

拓扑排序

在一个表示工程的有向图中，用定点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，我们称为AOV网。
AOV网中的弧表示活动之间存在某种制约关系。
AOV网中不能存在回路。

设G=(V, E)是一个具有n个顶点的有向图，若满足从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点序列中顶点vi比在顶点vj之前。则我们称这样的顶点序列为一个拓扑序列。

拓扑排序，其实就是对一个有向图构造拓扑序列的过程。

关键路径

在一个表示构成的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们称之为AOE网。

我们把路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径叫 关键路径。在关键路径上的活动叫 关键活动。