《大话数据结构》--学习笔记3
来源：互联网 发布：张曼玉 知乎 编辑：程序博客网 时间：2024/04/30 23:54
2.9 算法的时间复杂度
2.9.1 算法时间复杂度定义
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关键问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，记作：T(n)=O(f(n)).它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是时间规模n的某个函数。
一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。
显然，由此算法时间复杂度的定义可知，我们三个求和算法的时间复杂的分别为O(n)、O(1)、O(n^2).我们分别取名为：
O(1)：常数阶 O(n)：线性阶 O(n^2)：平方阶
2.9.2 推导大O阶方法
推导大O阶：
1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数；
2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项；
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数；
得到的结果就是大O阶。
常数阶：
首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)。
int i, sum=0,n=100; /*执行一次*/sum = (1+n)*n/2; /*执行一次*/printf("%d",sum); /*执行一次*/这个算法的运行次数函数是f(n)=3. 根据我们推到大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度是O(1).
另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句sum=(1+n)*n/2有7句，即：
int i, sum=0,n=100; /*执行一次*/sum = (1+n)*n/2; /*执行第1次*/sum = (1+n)*n/2; /*执行第2次*/sum = (1+n)*n/2; /*执行第3次*/sum = (1+n)*n/2; /*执行第4次*/sum = (1+n)*n/2; /*执行第5次*/sum = (1+n)*n/2; /*执行第6次*/sum = (1+n)*n/2; /*执行第7次*/sum = (1+n)*n/2; /*执行一次*/printf("%d",sum); /*执行一次*/事实上无论n为多少，上面的两段代码就是3次和9次执行的差异，这样与n多少无关的，执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又称为常数阶。【注意：不管这个常数是多少，我们都记做O(1),而不是O(3)、O(9)等其他任何数字。】
线性阶
我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
下面我们来看这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n),因为循环体中代码须要执行n次。
int i;for (i=0;i<n;i++){ ....}
对数阶看下面代码的时间复杂度又是多少？
int count=1;while(count<0){ count =count*2;}
由于每次count乘以2之后，就距离n更近一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2^x=n 得到x=log2n.所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。平方阶
下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)
int i ,j;for(i=0; i<n; i++){ for(j=0;j<n;j++) { }}
而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)如果外循环的循环次数改为m，时间复杂度就变为O(m*n)，所以我们总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
那么下面的循环嵌套，它的时间复杂度是多少？
int i,j;for(i=0；i<n ;i++){ for(j=i;j<n;j++) //注意：j=i 而不是0 { }}
由于当i=0时，内循环执行了n次，当i=1时，执行了n-1次，......当i=n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为：n+(n-1)+(n-2)+......+1=n(n+1)/2=(n^2)/2+n/2
用我们推导大O阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；
第二条，只保留最高阶项，因此保留(n^2)/2；
第三条，去除这个项的相乘常数，即/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n^2)
我们继续看例子，对于方法调用的时间复杂度又如何分析：
int i ,j;for (i=0; i<n;i++){ function(i);}void function(int count){ printf("count");}
函数体是打印这个参数。其实function函数的时间复杂度是O(1),所以整体的时间复杂度为O(n).假如function是下面这样的：
void function (int count){ int j ; for(j=count; j<n; j++) { }}
事实上，这和刚才举例子的是一样的，只不过把嵌套内循环放到了函数中。最终的时间复杂度是O(n^2)下面这段相对复杂的语句：
n++;function(n);int i,j;for(i=0; i<n; i++){ function(i);}for(i=0; i<n; i++){ for(j=i; i<n; j++) { }}
它的执行次数 f(n)=1+n+n^2+n(n+1)/2=3/2(n^2)+3/2(n)+1 根据推导O阶的方法，最终这段代码的时间复杂度也是O(n^2)2.10 常见的时间复杂度
执行次数函数阶非正常术语12O(1)常数阶2n+3O(n)线性阶3n^2+2n+1O(n^2)平方阶5log2n+20O(logn)对数阶2n+3nlog2n+19O(nlogn)nlogn阶6n^3+2n^2+3nO(n^3)立方阶2^nO(2^n)指数阶
常用的时间复杂度所耗的时间从小到大依次是：
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)
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