线性代数入门(2) - 矩阵，向量

让我们回忆一下上一次所说的，线性代数——线性方程组。不要怕，这次的问题仍然非常简单。

我们这次要变一个更大一些的魔术，我们会在形式上把所有的线性方程组统一起来，让它们看上去长得一样，今后我们就可以用相同的方法来处理或是求解这些方程。

我们还是拿上次的那个二元一次方程组来看吧：
{2x1+3x2=74x1+5x2=13

这个形式和一元一次方程比复杂了很多，要求解也不那么直观，我们就把形式变化一下，让它看上去像一个一元一次方程一样。

首先，我们先把要求的两个变量整合一下：
X=[x1x2]

然后把方程等号右边的部分同样整合一下：
B=[713]

最后把变量前面的系数单独拿出来聚在一起：
A=[2435]

现在我们把这些东西拼凑起来：
[2435][x1x2]=[713]

或者更简单的形式：AX=B
现在大家一定会怀疑，这玩意儿就这样随便写写就可以了？当然，这不是随便写写的，我们会去定义这些符号和这些符号之间的运算，然后我们就可以知道，我们确实是可以把方程写成这个形式的。

我们先来定义一下乘法，AX是什么意思呢？很自然，我们希望这个乘法得到的结果和方程左边是相同的，于是我们就希望：
[2435][x1x2]=[2x1+3x24x1+5x2]

能看出什么规律吗？我们不用具体的数字，用符号来重写一下：
[a11a21a12a22][x1x2]=[a11x1+a12x2a21x1+a22x2]

如果还是没看清楚，我们用三个变量来尝试一下：
⎡⎣a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎤⎦⎡⎣x1x2x3⎤⎦=⎡⎣a11x1+a12x2+a13x3a21x1+a22x2+a23x3a31x1+a32x2+a33x3⎤⎦

这次看明白了吧。这个乘法的定义就是把系数部分的第一行挨个和变量相乘然后相加，得到第一个值，第二行再挨个和变量相乘再相加得到第二个值，以此类推。

然后我们还需要定义相等。A和X相乘得到的结果如果我们称之为C，那C=B是什么意思呢？很简单，就是C上每一个位置的值和B上相应位置上的值都相等。

然后我们再回头看看我们新定义的AX=B和原来的方程是不是同一个意思呢？这样，我们就成功把这个魔术完成了。是不是觉得很无趣？但是，如果我们有一天发现我们有一种类似于除法的东西，能像我们求解一元一次方程一样求解这个被我们改写过的二元一次方程，就好比我们的X将来可以等于B/A一样，你是不是觉得这个魔术的意义呢？事实上，我们的确存在这样的一个东西，尽管略有些不同，我们将来会看到在一定的条件下，我们会有这样一个形式：X=A−1B

说到现在，我们就把我们这一部分的标题上这两个词解释一下。前面我们有把方程的系数写成了一个方块，这个方块就叫做矩阵。我们现在可以把矩阵看成一个线性方程组的系数组成的方块，当然，到后面我们，我们可以逐渐发现矩阵更重要或者说是更根本的意义。而且，我们这里把线性方程组的系数和矩阵划上了关联，所以线性方程组也随之有了更深刻的含义。我们刚才举的例子，这个方块的行数和列数是相等的，但并不是说，一个矩阵的行数和列数一定是相等的，同样，一个线性方程组的未知数个数和方程的个数并不一定是相等的，这个和方程有没有解，有多少解并没有必然的联系，尽管我们在中学里学的方程组中未知数个数和方程的个数通常是相同的。

那什么是向量呢？我们刚才把方程组等号右边的部分提取出来写成了一列的形式，这就是一个向量。首先，由于我们刚才在处理系数和等号右边部分时用了相同的符号（用一个大大的中括号括起来），既然形式相同，我们理所当然就把向量看成一个n行1列的矩阵。然而，作为一个特殊的矩阵，我们可以赋予它一些更好的含义，在下一部分中，我们就可以看到一些神奇的东西。

回头看，实际上，我们自变量写成的那个形式也是一个向量。

最后，我们再来回顾一下，什么是矩阵和向量。
矩阵：m行n列的数字，用一个中括号括起来，可以用来表示一个线性方程组的系数
向量：m行1列的数字，用一个中括号括起来，可以用来表示一个线性方程组等号右边的部分，或者是自变量的列表