BZOJ 3684 大朋友和多叉树（生成函数+FFT）

Description

我们的大朋友很喜欢计算机科学，而且尤其喜欢多叉树。对于一棵带有正整数点权的有根多叉树，如果它满足这样的性质，我们的大朋友就会将其称作神犇的：点权为1的结点是叶子结点；对于任一点权大于1的结点u，u的孩子数目deg[u]属于集合D，且u的点权等于这些孩子结点的点权之和。
给出一个整数s，你能求出根节点权值为s的神犇多叉树的个数吗？请参照样例以更好的理解什么样的两棵多叉树会被视为不同的。
我们只需要知道答案关于950009857(453∗221+1，一个质数）取模后的值。

Input

第一行有2个整数s,m。
第二行有m个互异的整数，d[1],d[2],…,d[m]，为集合D中的元素。

Output

输出一行仅一个整数，表示答案模950009857的值。

Sample Input

4 2

2 3

Sample Output

10

Solution

设满足条件的树的生成函数为F(x)，则有F(x)=x+∑c∈D(F(x))c

设A(x)=x−∑c∈Dxc，则A(F(x))=x，由拉格朗日反演，[xn]F(x)=1n[xn−1](xA(x))n

而(xA(x))n=e−nln(A(x)x)，故只需多项式A(x)x取对数后乘上−n然后取指数即可

Code

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#include<vector>#include<queue>#include<map>#include<set>#include<ctime>using namespace std;typedef long long ll;#define maxn 100005#define maxfft 262144+5#define mod 950009857const double pi=acos(-1.0);struct cp {    double a,b;    cp operator +(const cp &o)const {return (cp){a+o.a,b+o.b};}    cp operator -(const cp &o)const {return (cp){a-o.a,b-o.b};}    cp operator *(const cp &o)const {return (cp){a*o.a-b*o.b,b*o.a+a*o.b};}    cp operator *(const double &o)const {return (cp){a*o,b*o};}    cp operator !() const{return (cp){a,-b};}}w[maxfft];int pos[maxfft];void fft_init(int len){    int j=0;    while((1<<j)<len)j++;    j--;    for(int i=0;i<len;i++)        pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<j);}void fft(cp *x,int len,int sta){    for(int i=0;i<len;i++)        if(i<pos[i])swap(x[i],x[pos[i]]);    w[0]=(cp){1,0};    for(unsigned i=2;i<=len;i<<=1)    {        cp g=(cp){cos(2*pi/i),sin(2*pi/i)*sta};        for(int j=i>>1;j>=0;j-=2)w[j]=w[j>>1];        for(int j=1;j<i>>1;j+=2)w[j]=w[j-1]*g;        for(int j=0;j<len;j+=i)        {            cp *a=x+j,*b=a+(i>>1);            for(int l=0;l<i>>1;l++)            {                cp o=b[l]*w[l];                b[l]=a[l]-o;                a[l]=a[l]+o;            }        }    }    if(sta==-1)for(int i=0;i<len;i++)x[i].a/=len,x[i].b/=len;}cp x[maxfft],y[maxfft],z[maxfft];int temp[maxfft];void FFT(int *a,int *b,int n,int m,int *c){    if(n<=100&&m<=100||min(n,m)<=5)    {        for(int i=0;i<n+m-1;i++)temp[i]=0;        for(int i=0;i<n;i++)            for(int j=0;j<m;j++)            {                temp[i+j]+=(ll)a[i]*b[j]%mod;                if(temp[i+j]>=mod)temp[i+j]-=mod;            }        for(int i=0;i<n+m-1;i++)c[i]=temp[i];        return ;    }    int len=1;    while(len<n+m)len<<=1;    fft_init(len);    for(int i=0;i<len;i++)    {        int aa=i<n?a[i]:0,bb=i<m?b[i]:0;        x[i]=(cp){(aa>>15),(aa&32767)},y[i]=(cp){(bb>>15),(bb&32767)};    }    fft(x,len,1),fft(y,len,1);    for(int i=0;i<len;i++)    {        int j=len-1&len-i;        z[i]=((x[i]+!x[j])*(y[i]-!y[j])+(x[i]-!x[j])*(y[i]+!y[j]))*(cp){0,-0.25};    }    fft(z,len,-1);    for(int i=0;i<n+m-1;i++)    {        ll ta=(ll)(z[i].a+0.5)%mod;        ta=(ta<<15)%mod;        c[i]=ta;    }    for(int i=0;i<len;i++)    {        int j=len-1&len-i;        z[i]=(x[i]-!x[j])*(y[i]-!y[j])*(cp){-0.25,0}+(x[i]+!x[j])*(y[i]+!y[j])*(cp){0,0.25};    }    fft(z,len,-1);    for(int i=0;i<n+m-1;i++)    {        ll ta=(ll)(z[i].a+0.5)%mod,tb=(ll)(z[i].b+0.5)%mod;        ta=(ta+(tb<<30))%mod;        c[i]=(c[i]+ta)%mod;    }}int inv[maxn];void init(int n=100001){    inv[1]=1;    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mod-(ll)(mod/i)*inv[mod%i]%mod;}int temp1[maxfft],temp2[maxfft],temp3[maxfft],temp4[maxfft];void Poly_Inv(int *poly,int n,int *ans){    ans[0]=inv[poly[0]];    for(int i=2;i<=n;i<<=1)    {        FFT(poly,ans,i,i/2,temp1);        FFT(ans,temp1+i/2,i/2,i/2,temp1);        for(int j=0;j<i/2;j++)ans[j+i/2]=temp1[j]==0?0:mod-temp1[j];    }}void Poly_Log(int *poly,int n,int *ans){    Poly_Inv(poly,n,temp2);    for(int i=0;i<n-1;i++)ans[i]=(ll)poly[i+1]*(i+1)%mod;    FFT(ans,temp2,n-1,n,ans);    for(int i=n-1;i>0;i--)ans[i]=(ll)ans[i-1]*inv[i]%mod;    ans[0]=0;}void Poly_Exp(int *poly,int n,int *ans){    if(n==1)    {        ans[0]=1;        return ;    }    Poly_Exp(poly,n/2,ans);    Poly_Log(ans,n,temp3);    for(int i=0;i<n;i++)    {        temp3[i]=poly[i]-temp3[i];        if(temp3[i]<0)temp3[i]+=mod;        }    temp3[0]++;    if(temp3[0]==mod)temp3[0]=0;    FFT(ans,temp3,n,n,ans);    for(int i=n;i<2*n;i++)ans[i]=0;}void Poly_Root(int *poly,int n,int *ans){    ans[0]=1;    for(int i=2;i<=n;i<<=1)    {        Poly_Inv(ans,i,temp4);        FFT(ans,ans,i/2,i/2,ans);        for(int j=0;j<i;j++)ans[j]=(ll)(ans[j]+poly[j])*inv[2]%mod;        FFT(ans,temp4,i,i,ans);        for(int j=i;j<2*i;j++)ans[j]=0;    }}int s,m,f[maxfft],g[maxfft];int main(){    init();    while(~scanf("%d%d",&s,&m))    {        memset(f,0,sizeof(f));        while(m--)        {            int temp;            scanf("%d",&temp);            f[temp-1]=mod-1;        }        f[0]=1;        int len=1;        while(len<=s)len<<=1;        Poly_Log(f,len,g);        for(int i=0;i<len;i++)g[i]=(mod-(ll)s*g[i]%mod)%mod;        Poly_Exp(g,len,f);        printf("%d\n",(ll)inv[s]*f[s-1]%mod);    }    return 0;}