BZOJ 3684 大朋友与多叉树 多项式求幂/求exp+拉格朗日反演

题意:链接

方法:多项式求幂+拉格朗日反演。

解析:

毒瘤题最后一个。

首先先写几个公式(勿问证明)

Fk(x)=exp(k∗ln(F(X)))

若F(G(x))=G(F(x))=x

则称F(x)与G(x)互为复合逆

若F(x)为G(x)的复合逆

[xn]F(x)表示F(x)的n次方项系数

则有[xn]F(x)=1n[xn−1](xG(x))n

推广

[xn]H(F(x))=1n[xn−1]H′(x)(xG(x))n

然而这题用不到推广，别怕- -!

我们显然可以搞出来d的生成函数。

我们设F(x)是根节点点权的生成函数。

则

F(x)=∑i∈DFi(x)+x

+x代表他是叶节点时。

再搞出来D中元素的生成函数C(x)

则

F(x)=C(F(x))+x

设G(x)=x−C(x)

则有

G(F(x))=x

所以F(x)是G(x)的复合逆。

于是有

[xn]F(x)=1n[xn−1](xG(x))n

如果细心一点发现，(xG(x))上下可以同约一个x,这样的话可以保证这个东西是可求ln的，因为常数项就变成1了，所以我们不必进行一些关于常数项的转化什么的。

出题人良心！

求exp怎么求呢？

无脑倍增….

上图是牛顿迭代。

然后我们带进上图的式子。

然后就可以无脑倍增了…

神奇！

代码:

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#define N 262244#define mod 950009857using namespace std;typedef long long ll;int s,m,l;int rev[N];ll G[N],G_inv[N],G_inv_n[N],G_inv_dao[N],G_inv_ln[N];ll inv[N];void init(){    inv[1]=1;    for(int i=2;i<l;i++)        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;}ll Quick_Power(ll x,ll y,ll MOD){    ll ret=1;    while(y)    {        if(y&1)ret=(ret*x)%MOD;        x=(x*x)%MOD;        y>>=1;    }    return ret;}void NTT(ll *a,int n,int f){    for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);    for(int h=2;h<=n;h<<=1)    {        ll wn=Quick_Power(7,(mod-1)/h,mod);        for(int i=0;i<n;i+=h)        {            ll w=1;            for(int j=0;j<(h>>1);j++,w=w*wn%mod)            {                ll t=a[i+j+(h>>1)]*w%mod;                a[i+j+(h>>1)]=((a[i+j]-t)%mod+mod)%mod;                a[i+j]=(a[i+j]+t)%mod;            }        }    }    if(f==-1)    {        for(int i=1;i<(n>>1);i++)swap(a[i],a[n-i]);        ll inv=Quick_Power(n,mod-2,mod);        for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(long long)a[i]*inv%mod;    }}void Get_Inv(ll *a,ll *b,int n){    static ll temp[N];    if(n==1)    {        b[0]=Quick_Power(a[0],mod-2,mod);        return;    }    Get_Inv(a,b,n>>1);    memcpy(temp,a,sizeof(a[0])*n);    memset(temp+n,0,sizeof(a[0])*n);     int m=n,L=0,nn=n;    for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;    for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));    NTT(temp,n,1),NTT(b,n,1);    for(int i=0;i<n;i++)        temp[i]=b[i]*(((2ll-temp[i]*b[i]%mod)%mod+mod)%mod)%mod;    NTT(temp,n,-1);    for(int i=0;i<(n>>1);i++)b[i]=temp[i];    memset(b+nn,0,sizeof(b[0])*nn);    n=nn;}void Get_Ln(ll *a,ll *b,int n){    static ll a_dao[N],a_inv[N];    for(int i=1;i<=n;i++)        a_dao[i-1]=a[i]*i%mod;    a_dao[n]=0;    Get_Inv(a,a_inv,n);    int m=n,L=0;    for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;    for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));    NTT(a_inv,n,1),NTT(a_dao,n,1);    for(int i=0;i<n;i++)        b[i]=a_inv[i]*a_dao[i]%mod;    NTT(b,n,-1);    for(int i=n-1;i>=1;i--)        b[i]=b[i-1]*inv[i]%mod;    b[0]=0;    memset(b+m,0,sizeof(b[0])*m);    memset(a_dao,0,sizeof(a_dao[0])*n);    memset(a_inv,0,sizeof(a_inv[0])*n);}void Get_Exp(ll *a,ll *b,int n){    static ll temp[N];    if(n==1)    {        b[0]=1;        return;    }    Get_Exp(a,b,n>>1);    memset(temp,0,sizeof(a[0])*(n<<1));    Get_Ln(b,temp,n);    for(int i=0;i<n;i++)        temp[i]=((i==0)+mod-temp[i]+a[i])%mod;    int m=n,L=0,nn=n;    for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;    for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));    NTT(b,n,1),NTT(temp,n,1);    for(int i=0;i<n;i++)        b[i]=b[i]*temp[i]%mod;    NTT(b,n,-1);    memset(b+nn,0,sizeof(b[0])*nn);    n=nn;}int main(){    scanf("%d%d",&s,&m);    G[0]=1;    for(int i=1;i<=m;i++)    {        ll x;        scanf("%lld",&x);        G[x-1]=mod-1;    }    for(l=1;l<=s;l<<=1);    init();    Get_Inv(G,G_inv,l);    Get_Ln(G_inv,G_inv_ln,l);    for(int i=0;i<l;i++)        G_inv_ln[i]=G_inv_ln[i]*s%mod;      Get_Exp(G_inv_ln,G_inv_n,l);    printf("%lld\n",G_inv_n[s-1]*Quick_Power(s,mod-2,mod)%mod);}