BZOJ 3309 DZY Love Math

题目大意：求：∑ni=1∑mj=1f(gcd(i,j))
其中f(x)表示x的质因数分解中，最大的指数。特殊的，f(1)=0。n,m<=1e7, T<=1e3。
题解：
首先考虑莫比乌斯反演，下文设n<=m：
首先转为枚举最大公因数：

∑i=1n∑j=1mf(gcd(i,j))

=∑d=1nf(d)∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)==d]

=∑d=1nf(d)∑i=1[nd]∑j=1[md][gcd(i,j)==1]

=∑d=1nf(d)∑i=1[nd]∑j=1[md]∑e|gcd(i,j)μ(e)

=∑d=1nf(d)∑e=1[nd]μ(e)[nde][mde]

转而枚举T=de

=∑T=1n[nT][mT]∑d|Tf(d)μ(Td)

=∑T=1n[nT][mT]g(T)

其中g函数是f和μ函数的卷积。至此，如果能够在合适的时间内预处理出g函数，既可以用数论分块在O(n√)的时间内回答每一次询问。注意到f函数是可以在线性时间内求出f和μ，然后枚举x和y，使g(xy)+=f(x)μ(y)即可做到O(nlgn)的复杂度下求出g。但这并不能胜任本题。
考虑我们实际上上述推导并未使用f函数的性质。考虑观察f函数和μ函数的卷积的性质。
我们知道μ函数的取值只可能是1,-1,0中的某些，因而相当于是给f函数前加上系数。显然那些系数是0的部分不需要考虑。在这里μ函数就有一个非常好的性质：当n中又平方质因子的时候μ(n)=0！
这就给我们提供了方便。考虑g(n)，并不妨设n=Πki=1paii。注意到如果想使f(d)的函数值能够取到，必须有d中的质因子指数与n个质因子指数相差不超过1，否则Td就会含有平方质因子，f(d)就不会被统计。因此，显然有很大可能，f(d)的值取到了n的指数中最大的那一个。事实上，稍微仔细思考一下，不妨设a=maxki=1ai，并且为方便叙述上述n的质因子分解中对每一个质数及其质数重新排序，满足a=a1=a2=...=ax>ax+1>=ax+2...>=ak。
那么f函数的值要么取到a，要么取到a-1。两种情况分别来看。

第一种：什么时候f函数能够取到a呢？显然，在a1...ax中，有至少一个指数是d达到a的，而后面的ax+1...ak就是随便选。这显然就是一个容斥问题，不难发现，如果枚举d的质因数分解中，有哪几项的次数达到了a，那么可以列出一下式子：

g1(n)=a∑i=1xCix∑j=0k−xCjk−x(−1)k−i−j

=a∑i=1xCix(−1)x−i∑j=0k−xCjk−x(−1)k−x−j∗1j

=a∑i=1xCix(−1)x−i[k−x==0]

显然如果k不等于x那么g1(n)=0.
否则如果k=n会有：

g1(n)=a[∑i=0xCix(−1)x−i∗1i]−aC0x(−1)x

由于显然x>=1，有：

g1(n)=a(−1)x+1=(−1)k+1a

第二种情况，什么时候f函数取到a-1呢？这个情况相对简单，即当d的质因子中,p1...px的指数全部没有取满，此时会有：

g2(n)=(a−1)(−1)x∑j=0k−xCjk−x(−1)k−x−j

g2(n)=(a−1)(−1)x[k==x]

。
显然如果k和x不相等那么g2(n)也会等于0.
否则，有：

g2(n)=(a−1)(−1)x=a(−1)x−(−1)x

=−a(−1)k+1−(−1)k

。
因此，如果k不等于x，那么g(n)=g1(n)+g2(n)=0+0=0。
否则：

g(n)=g1(n)+g2(n)

=(−1)k+1a−(−1)k+1a−(−1)k

=(−1)k+1

综上，我们知道k=x代表着每一项的次数都是一样的，因此把把那些μ(x)不等于0的x取出来做高次幂计算g函数即可。易知这样做显然每个数字最多被计算一次，复杂度是线性的。
至此我们成功的解决了这道题。