§第四章第三节线性相关性的判定
一、方程组、矩阵、向量组的关系
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a 11 x 1 +a 12 x 2 +⋯+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +⋯+a 2n x n =b 2 ⋯⋯⋯⋯⋯a m1 x 1 +a m2 x 2 +⋯+a mn x n =b m (1)
⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 a 21 ⋯a m1 a 12 a 22 ⋯a m2 ⋯⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋯a mn ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 ⋮x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ b 1 b 2 ⋮b n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
即Ax=b(2)
将A按列分块,由(2)得x 1 α 1 +x 2 α 2 +⋯+x n α n =b(3)
显然,由(3)式知,若b能由α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性表示,则线性方程组(1)有解,若不能由α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性表示,则线性方程组(1)无解;
当b=0时,(3)式变为x 1 α 1 +x 2 α 2 +⋯+x n α n =0(4)
显然,由(4)知,若α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性相关,则它所对应的齐次线性方程组Ax=0有非零解,若α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性无关,则Ax=0仅有零解.
综上所述,向量b能不能由向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性表示,则说明它所对应的非齐次线性方程组Ax=b有没有解;向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α n 的线性相关性,则说明它所对应的齐次线性方程组Ax=0有什么样的解.
例如,向量组α 1 =⎛ ⎝ ⎜ 12−3 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 2 =⎛ ⎝ ⎜ 301 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 3 =⎛ ⎝ ⎜ 510 ⎞ ⎠ ⎟ ,β=⎛ ⎝ ⎜ 96−7 ⎞ ⎠ ⎟
显然,β=3α 1 +2α 2 +0α 3 ,所以线性方程组x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 =β
即⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 +3x 2 +5x 3 =92x 1 +x 3 =6−3x 1 +x 2 =−7 有一个解是(3,2,0)
向量组α 1 =⎛ ⎝ ⎜ 11−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 2 =⎛ ⎝ ⎜ 301 ⎞ ⎠ ⎟ ,β=⎛ ⎝ ⎜ 110 ⎞ ⎠ ⎟
由于|1 3 1 1 0 1 −1 1 0 |≠0,即α 1 ,α 2 ,β线性无关,所以β不能由α 1 ,α 2 线性表示,即线性方程组x 1 α 1 +x 2 α 2 =β无解.
即⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 +3x 2 =1x 1 =1−x 1 +x 2 =0 无解.
向量组α 1 =⎛ ⎝ ⎜ 12−3 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 2 =⎛ ⎝ ⎜ 301 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 3 =⎛ ⎝ ⎜ 96−7 ⎞ ⎠ ⎟
由于∣ ∣ ∣ ∣ 139 206 −31−7 ∣ ∣ ∣ ∣ =0,即α 1 ,α 2 ,α 3 线性相关,且α 3 =3α 1 +2α 2
所以x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 =0有非零解
二、线性相关性的判定
定理4.向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(α 1 ,α 2 ,⋯,α m )的秩小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.
例1.n维向量组
e 1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 10⋮0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,e 2 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 01⋮0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,⋯,e n =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 00⋮1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
称为n维单位坐标向量组,试讨论它的线性相关性.
解:n维单位坐标向量组构成的矩阵E=(e 1 ,e 2 ,⋯,e n )是n阶的单位矩阵.由|E|=1≠0,知R(E)=n,即R(E)等于向量组中向量的个数,故由定理4知向量组是线性无关的.
例2.已知α 1 =⎛ ⎝ ⎜ 111 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 2 =⎛ ⎝ ⎜ 025 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 3 =⎛ ⎝ ⎜ 247 ⎞ ⎠ ⎟ ,试讨论向量组α 1 ,α 2 ,α 3 及向量组α 1 ,α 2 的线性相关性.
解:对矩阵(α 1 ,α 2 ,α 3 )施以初等行变换,使之变成行梯形矩阵,即可同时看出矩阵(α 1 ,α 2 ,α 3 )及矩阵(α 1 ,α 2 )的秩,由定理4即可得出结论.(α 1 ,α 2 ,α 3 )=⎛ ⎝ ⎜ 111 025 247 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 025 225 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 210 ⎞ ⎠ ⎟ 矩阵(α 1 ,α 2 ,α 3 )的秩为2,小于向量个数3,线性相关矩阵(α 1 ,α 2 )的秩为2,等于向量个数2,线性无关.
例3.已知向量组α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关,令β 1 =α 1 +α 2 ,β 2 =α 2 +α 3 ,β 3 =α 3 +α 1 ,试证向量组β 1 ,β 2 ,β 3 线性无关.
证:设有x 1 ,x 2 ,x 3 使x 1 β 1 +x 2 β 2 +x 3 β 3 =0即x 1 (α 1 +α 2 )+x 2 (α 2 +α 3 )+x 3 (α 3 +α 1 )=0亦即(x 1 +x 3 )α 1 +(x 1 +x 2 )α 2 +(x 2 +x 3 )α 3 =0因α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关,故有:
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 +x 3 =0x 1 +x 2 =0x 2 +x 3 =0
由此方程组的系数行列式∣ ∣ ∣ ∣ 110 011 101 ∣ ∣ ∣ ∣ =2≠0故方程组只有零解x 1 =x 2 =x 3 =0
∴向量组β 1 ,β 2 ,β 3 线性无关
定理5.(1)若向量组A:α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性相关,则向量组B:α 1 ,α 2 ,⋯,α m ,α m+1 也线性相关.反之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关.
证:记A=(α 1 ,α 2 ,⋯,α m ),B=(α 1 ,α 2 ,⋯,α m ,α m+1 )有R(B)≤R(A)+1,若向量组A线性相关,则由定理4有R(A)<m,从而R(B)≤R(A)+1<m+1,再由定理4知向量组B线性相关.用反证法证明线性无关部分:假设A线性相关,则R(A)<m,从而R(B)<m+1,这与B线性无关矛盾.所以,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关
由上面证明知:一个向量组若有线性相关的部分组,则该向量组必线性相关.特别地,含有零向量的向量组一定线性相关.一个向量组线性无关,则它的任何部分组都线性无关.
定理5.(2)设α j =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ a 1j ⋮a rj ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ,β j =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 1j ⋮a rj a (r+1)j ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,(j=1,2,⋯,m)即向量α j 添上一个分量后得向量β j ,若向量组A:α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性无关,则向量组B:β 1 ,β 2 ,⋯,β m 也线性无关,反之,若向量组B线性相关,则向量组A也线性相关.
证:记A r×m =(α 1 ,α 2 ,⋯,α m ),B (r+1)×m =(β 1 ,β 2 ,⋯,β m ),有R(A)≤R(B).若向量组A线性无关,则R(A)=m,从而R(B)≥m,但R(B)≤m,故R(B)=m,因此向量组B线性无关.证线性相关用反证法,设:若向量组B线性相关时,向量组A线性无关由前半部分可知，向量组A线性无关,则向量组B线性无关这与假设矛盾,故假设不成立.即：若向量组B线性相关,则向量组A也线性相关.
推论:若r维的向量线性无关,在r维的向量组每个向量都添上n−r个分量,得n维的向量组,则n维的向量组线性无关.
定理5.(3)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量的个数m时一定线性相关.
证:m个n维向量α 1 ,α 2 ,⋯,α m 构成的矩阵A n×m =(α 1 ,α 2 ,⋯,α m ),有R(A)≤n.若n<m,则R(A)<m,故m个向量α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性相关.
例4.设有向量组α T i =(a i ,a 2 i ,⋯,a n i )(i=1,2,⋯,m.m≤n),试证:向量组α T 1 ,α T 2 ,⋯,α T m ,线性无关,其中a 1 ,a 2 ,⋯,a m 为m个互不相等且不等于零的常数.
证:因为α T 1 =(a 1 ,a 2 1 ,⋯,a m 1 ,⋯,a n 1 )α T 2 =(a 2 ,a 2 2 ,⋯,a m 2 ,⋯,a n 2 )⋯⋯⋯⋯α T m =(a m ,a 2 m ,⋯,a m m ,⋯,a n m )前m个分量做成一个行列式∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 a 2 1 ⋯a m 1 a 2 a 2 2 ⋯a m 2 ⋯⋯⋯⋯ a m a 2 m ⋯a m m ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =a 1 a 2 ⋯a m ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1a 1 ⋯a m−1 1 1a 2 ⋯a m−1 2 ⋯⋯⋯⋯ 1a m ⋯a m−1 m ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =a 1 a 2 ⋯a m ∏ i≤j<i≤m (a j −a i )≠0从而向量组β T 1 =(a 1 ,a 2 1 ,⋯,a m 1 )β T 2 =(a 2 ,a 2 2 ,⋯,a m 2 )⋯⋯⋯cdotsβ T m =(a m ,a 2 m ,⋯,a m m )线性无关,所以增加分量后所得到的向量组α T 1 ,α T 2 ,⋯,α T m 线性无关.
例5.设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n<m,若AB=E,证明B的列向量线性无关.
证:设B=(β 1 ,β 2 ,⋯,β n ),其中β 1 ,β 2 ,⋯,β n 是B的列向量,若x 1 β 1 +x 2 β 2 +⋯+x n β n =0即(β 1 ,β 2 ,⋯,β n )⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 ⋮x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =BX=0两边左乘A得ABX=0,即EX=0,从而X=0,所以β 1 ,β 2 ,⋯,β n 线性无关.
例6.设向量β可由向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性表示,但不能由向量组(Ⅰ)α 1 ,α 2 ,⋯,α m−1 表示,记向量组(Ⅱ)β,α 1 ,α 2 ,⋯,α m−1 ,则α m 能由(Ⅱ)线性表示,但不能由(Ⅰ)线性表示.
证:由于β可由α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性表示,即β=λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ m α m 又因为β不能用向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α m−1 线性表示,所以λ m ≠0,从而α m =1λ m β−λ 1 λ m α 1 −λ 2 λ m α 2 −⋯−λ m−1 λ m α m−1 故α m 能由(Ⅱ)线性表示.假设α m 能由(Ⅰ)线性表示,则有α m =k 1 α 1 +k 2 α 2 +⋯+k m−1 α m−1 所以β=λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ m α m =λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ m (k 1 α 1 +k 2 α 2 +⋯+k m−1 α m−1 )=(λ 1 +λ m k 1 )α 1 +(λ 2 +λ m k 2 )α 2 +⋯+(λ m−1 +λ m k m−1 )α m−1 这与β不能由(Ⅰ)线性表示矛盾,故α m 不能由(Ⅰ)线性表示.
