线性代数(四十五) ： 线性映射的范数

本节定义衡量线性映射或者说矩阵的大小的一个概念:范数.

1 上确界

设A是欧几里得空间X到另一欧几里得空间U的线性映射.

我们知道实数的任何有界子集都存在最小的上节,称为上确界

简记为sup.对于任意向量x,和线性映射A，Ax的每个分量都是x的分量的线性组合.

当向量x的长度为1的时候。Ax的长度就构成了一个有界数集.这个数集的上确界就称为矩阵A的范数.定义：

(1)式

2 矩阵范数的性质

(i)

证明：

当z为0向量时显然成立

当z为单位向量时,结合定义易证.

对任意z,z=kx，其中x是单位向量.由于：

再结合z为单位向量的情形即可证明.

(ii)

根据前几节的定理：

在(1)式中令Ax=u,即可证明

(iii)

对任意标量K都有：

证明：

(iv)设A，B均为X到U的线性映射，则：

证明：

根据三角不等式对于任意x属于X有:

左端上确界为：

右端上确界之和不大于：

因此得证.

(v)设A是X到U的线性映射.C是U到V的线性映射,则：

证明：

运用性质(i)有：

再次运用性质(i):

限定x长度为1,两端分别取上确界即证.

(vi)

证明：

根据伴随的性质：

标量积是对称函数：

上式两端取上确界,根据性质(ii).即证

3 范数与可逆性

设A是有限维欧几里得空间X到其自身的可逆的线性映射.B是X到自身的另一线性映射且：

则B可逆

证明：

 令A-B=C 则 B=A-C B可分解为：

由于可逆映射的乘积仍可逆.因此只需证明I-s可逆.

假设I-S不可逆,则存在x不等于0使得(I-S)x=0.此时x= Sx

利用S的范数有：

由于x不等于0，因此：

在根据性质(v)有：

再根据:

因此这与上边的S范数等于1矛盾.因此I-S可逆.证毕