考研第5天－线性代数－向量组的线性相关性

１、一些名词：

向量组，向量组A的一个线性组合，向量组等价，线性相关，线性无关，向量组的秩，向量空间，解空间，向量组生成的向量空间，向量空间的基，向量空间的维数，r维向量空间

２、[定理１]向量b能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,b)。

３、若A与B列等价，则A的列向量组与B的列向量组等价；若A与B行等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。

４、[定理２]向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A的秩等于矩阵[A,B]的秩，即R(A)=R(A,B)。

[推论]向量组A与向量组B等价的充要条件是R(A)=R(A,B)。

５、[定理３]设向量组B能由向量组A线性表示，则R(B)<=R(A)。

６、向量组线性相关的意义：当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时，方程组是线性相关的；当方程组没有多余方程的时候，就称该方程组线性无关。

７、[定理４]向量组[a1,a2,a3,a4...,an]线性相关的充要条件是他所构成的矩阵A的秩R(A)<n；向量组[a1,a2,a3,...,an]线性无关的充要条件是A的秩R(A)=n。

８、[定理５]

（１）如果向量组A:a1,a2,...,an线性相关，则向量组B：a1,a2,a3,...,an,an+1线性相关；反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关。

（２）[a1,a2,a3,...,am]，如果ai是n*1的向量，并且n<m，那么该向量组一定线性相关，特别的，n+1个n维列向量一定线性相关。

（３）设向量组A线性无关，[A,b]线性相关，那么b必能由A线性表示，并且该表示是唯一的。

９、[定理６]矩阵的秩等于他的列向量组的秩，也等于他的行向量组的秩。

10、[推论]（最大无关组的等价定义）

设向量组A0：a1,a2,...,ar是向量组A的一个部分组，并且：

（i）向量组A0线性无关。

（ii）向量组A的任意向量都能由A0线性表示。

那么向量组A0就是向量组A的一个最大无关组。

11、[定理2']向量组b1,b2,...,bl能由向量组a1,a2,...,am线性表示的充要条件是R(a1,a2,...,am)=R(a1,a2,...,m,b1,b2,...,bl)。

12、[定理３‘]若向量组B能由向量组A线性表示，那么R(B)<=R(A)。

13、齐次线性方程组解的性质：

[性质１]若Ax1=0,Ax2=0,那么A(x1+x2)=０；

[性质２]若Ax1=0,那么A(kx1)＝０；

14、[定理７]设m*n矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R(S)=n-r。

15、一个重要结论：若A与B列数相同，那么要证R(A)=R(B)，只需要证明Ax=0与Bx=0同解。

16、非齐次线性方程组解的性质：[非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解]

[性质３]设Ax1=b,Ax2=b，那么x=x1-x2也是Ax=b的解。

[性质４]设x=x1是Ax=0的解，x2是Ax=b的解，那么x1+x2也是Ax=b的解。

17、经典例题

P88例题6，P90例题7，P91例题8，P91例题12，P100页例题13例题15，P105页例题24，P106页例题25，P108,12,17,19,22,31题。