凸(Convex)函数定义

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关于Convex Function的解释,个人觉得说得很清楚,故转载记录

作者：匿名用户
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中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和另一些机构不同。

那么我们来讲凸函数（convex function）为什么叫做是凸（convex）的：这是因为凸函数与凸集（convex set）有联系，而凸集的定义没有争议。

1. 凸函数与凸集通过 sublevel sets 这个概念联系起来。

首先来看一个函数的 sublevel sets。对于函数 $f$ 来说，它的 $\alpha$ -sublevel set $C_\alpha$ 是这样定义的:
$C_\alpha = \lbrace x \in \mathbf{dom} \,f \, | \, f(x) \leq \alpha \rbrace$
也就是在函数定义域内，对应函数值小于 $\alpha$ 的自变量的取值构成的集合。

联系1：对于任意 $\alpha$ 来说，一个凸函数的 $\alpha$ -sublevel set 是一个凸集。

注意该命题的逆命题不成立。为了更好的理解这个概念，以及逆命题为什么不成立，我们来看一个例子（图来自参考资料）：

&amp;lt;img src="https://pic2.zhimg.com/50/60bbfd3bdc4f290821ab620306897871_hd.jpg" data-rawwidth="469" data-rawheight="292" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="469" data-original="https://pic2.zhimg.com/60bbfd3bdc4f290821ab620306897871_r.jpg"&amp;gt;这是一个定义域和值域都在 $\mathbb{R}$ 里面的函数，它是非凸的。它的 $\alpha$ -sublevel set 就是 $[a,b]$ ，显然是一个凸集。我们甚至可以看到对于这个函数，给定任意 $\alpha$ 它的 $\alpha$ -sublevel set 都是凸集，但这个函数不是凸函数。这样的函数有一个名字叫做 quasiconvex.

2. 凸函数与凸集通过 epigraph 这个概念联系起来。

接着看一个函数的 epigraph。它是这样定义的：
$\mathbf{epi}\, f = \lbrace (x,t) \,|\, x \in \mathbf{dom}\,f, f(x) \leq t \rbrace$
这个前缀 epi 好像是 above 的意思，那么epigraph的意思大概是「上方的图」。对于 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 的函数，它的 epigraph 就应该是 $\mathbb{R}^2$ 的子集。

接着看刚才的栗子，这个函数的epigraph就是函数上方的灰色部分（原谅我）：

&amp;lt;img src="https://pic2.zhimg.com/50/160359cc06b0c6a5d043bd8ebd81fa5d_hd.jpg" data-rawwidth="443" data-rawheight="287" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="443" data-original="https://pic2.zhimg.com/160359cc06b0c6a5d043bd8ebd81fa5d_r.jpg"&amp;gt;看到了吗，这不是一个凸集。

联系2：凸函数的 epigraph 是一个凸集，反之也成立。也就是说，一个函数是凸函数，当且仅当它的 epigraph 是凸集。

参考资料：
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.

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突然发现 sublevel sets 和 epigraph 这两个概念也是相对的，把 sublevel sets 定义的小于等于号换成大于等于号说不定就有了 "superlevel sets", 同样的还可以定义 "hypograph", 所以可能凹凸的分别还是 by convention吧？

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