可做题2（Code+12月网络赛）（扩欧+矩阵快速幂）

题目背景

“codeplus比赛的时候在做什么？有没有空？能来解决丢番图方程问题吗？”sublinekelzrip这样问qmqmqm。

当然，qmqmqm并不会丢番图方程问题，所以sublinekelzrip改为提出了另一个题目，现在请你帮助qmqmqm解决这个题目。

题目描述

这个问题是这样的：

若一个数列a满足条件an=an−1+an−2,n>3,而a1,a2为任意实数，则我们称这个数列为广义斐波那契数列。

现在请你求出满足条件a1=i，a2为区间[l,r]中的整数，且akmodp=m的广义斐波那契数列有多少个。

输入格式

从标准输入读入数据。

本题包含多组数据，输入第一行包含一个正整数T，表示数据组数。对于每组数据：

一行六个用空格隔开的整数i,l,r,k,p,m，意义如题目描述所示。

输出格式

输出到标准输出。

输出共T行，每行一个数表示该组数据的答案。

样例1输入

62 17 68 3 23 11 17 68 3 57 15 17 68 10 11 95 17 68 10 71 910 17 68 11 12 310 17 68 8 6 4

样例1输出

314159

子任务

测试点kr其他1≤100≤100无2≤105≤10534≤101856≤105≤1018p为质数78≤10189无10

对于所有数据，0≤l≤r,1≤p≤109,T=10,0≤i≤1018,k≥3。

题解：

算法一

暴力枚举所有可能的a2并递推判断。
复杂度O(r×k),预期得分10分。

算法二

ak可以表示为a1与a2的线性组合。
使用递推计算出系数，并暴力枚举所有可能的a2判断。
复杂度O(r+k),预期得分30分。

算法三

暴力枚举所有可能的a2并使用矩阵乘法判断。
复杂度O(r×log(k)),预期得分50分。

算法四

与算法二类似，使用递推计算出系数，此时可以发现可能的a2满足一个同余方程，使用扩展欧几里得或逆元求解即可。
可以通过测试点6,7。

算法五

将算法四中计算系数的方式改为矩阵乘法，可以通过测试点8。

算法六

由于p可能不是质数，所以需要判断不互质的情况，然后使用扩展欧几里得或欧拉定理求解同余方程。可以通过所有数据。

考场上果断算法三
后来虚泽口hu出了正解

如果知道了首项和第二项
我们就可以用矩阵快速幂求出第k项

相当于我们已知a[k]%p，a[1]，fib(k-2)，fib(k-1)，
令a=fib(k-1)，b=m-i*fib(k-2)，x=a[2]，

则方程转化为：a*x ≡ b(%p)，求解x=[l,r]的整数解

运用exgcd求解过程：

• 转化为不定方程：ax-py=b
• g=gcd(a,p)，若b%p≠0则无解（输出0）
• a/=g，p/=g，b/=g
• 求解a’x-p’y=1即exgcd(a,p)
• 得到最小非负整数解x=x*b（如果x<0，我们需要通过+p%p处理一下）
• 计算在[l,r]之间的解：cal(r,x)-cal(l-1,x)

ll cal(ll r,ll x){    if (r<x) return 0;    return (r-x)/p+1;    //每隔p个就有一解}

tip

i读入的时候就需要%p

在solve的时候：p —> p/gcd(a,p)

不知道这是什么鬼畜原理，
可能是因为求解是建立在：ax+py=gcd(a,p) 的基础上
之后的解也是每隔p/gcd(a,p)就有一个

//这里写代码片#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#define ll long longusing namespace std;ll p;struct node{    ll H[3][3];    node operator *(const node &a) const     {        node ans;        for (int i=1;i<=2;i++)            for (int j=1;j<=2;j++){                ans.H[i][j]=0;                for (int k=1;k<=2;k++)                    ans.H[i][j]=(ans.H[i][j]+H[i][k]*a.H[k][j])%p;        }        return ans;    }    void clear()    {        memset(H,0,sizeof(H));    }    node KSM(ll p)    {        node ans=(* this);        node a=(* this);        p--;        while (p)        {            if (p&1) ans=ans*a;            p>>=1;            a=a*a;        }        return ans;    }};node H;ll i,l,r,k,m,x,y;ll gcd(ll a,ll b){    ll r=a%b;    while (r)    {        a=b; b=r;        r=a%b;    }    return b;}void exgcd(ll a,ll b){    if (b==0)    {        x=1; y=0;        return;    }    exgcd(b,a%b);    ll t=x;    x=y;    y=t-a/b*y;}ll cal(ll r,ll x){    if (r<x) return 0;    return (r-x)/p+1;}ll solve(ll a,ll b){    ll c=gcd(a,p);    if (b%c!=0) return 0;    a/=c; b/=c; p/=c;               //p/=c    exgcd(a,p);    x=(x*b+p)%p;                    //解     while (x<0) x=(x+p)%p;    return (ll)(cal(r,x)-cal(l-1,x));}int main(){    H.H[1][1]=1; H.H[1][2]=1;    H.H[2][1]=1; H.H[2][2]=0;    int T;    scanf("%d",&T);    while (T--)    {        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&i,&l,&r,&k,&p,&m);        i%=p;        node ans=H.KSM(k-2);        ll f1=ans.H[1][1]%p;               //fib(k-1)         ll f2=((m-ans.H[2][1]%p*i%p)%p+p)%p;   //fib(k-2)        //f1*x ≡f2(%p)        printf("%lld\n",solve(f1,f2));    }    return 0;}