【杜教筛】51Nod1239[欧拉函数之和]题解

来源：互联网发布：淘宝客qq群里的优惠券编辑：程序博客网时间：2024/06/04 18:18

题目概述

求 ∑ni=1φ(i) 。

解题报告

因为 n=∑ni=1∑nj=1[gcd(i,n)=j]=∑d|n∑ndi=1[gcd(i,nd)=1]=∑d|iφ(nd) ，所以 Id=φ∗1 。

那么这道题只要像莫比乌斯函数之和一样用 1 卷 φ 就可以了，得到：

S (n) = \sum i = 1 n I d (i) - \sum i = 2 n S (⌊ n i ⌋) = n ( n + 1 ) 2 - \sum i = 2 n S (⌊ n i ⌋)

示例程序

#include<cstdio>#include<map>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=4700000,MOD=1e9+7,INV2=MOD+1>>1;int p[maxn+5],phi[maxn+5];bool pri[maxn+5];LL n;map<LL,int> f;#define Mod(x) ((x)%MOD)inline void AMOD(int &x,int tem) {if ((x+=tem)>=MOD) x-=MOD;}inline void Make(){    pri[1]=true;phi[1]=1;    for (int i=2;i<=maxn;i++)    {        if (!pri[i]) p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;        for (int j=1,t;j<=p[0]&&(t=i*p[j])<=maxn;j++)            if (i%p[j]) pri[t]=true,phi[t]=phi[i]*phi[p[j]]; else            {pri[t]=true;phi[t]=phi[i]*p[j];break;}    }    for (int i=2;i<=maxn;i++) AMOD(phi[i],phi[i-1]);}int Sum(LL n){    if (n<=maxn) return phi[n];if (f.count(n)) return f[n];    int ans=Mod(Mod(Mod(n+1)*Mod(n))*INV2);    for (LL l=2,r;l<=n;l=r+1)        r=n/(n/l),AMOD(ans,MOD-Mod(Mod(r-l+1)*Sum(n/l)));    return f[n]=ans;}int main(){    freopen("program.in","r",stdin);    freopen("program.out","w",stdout);    return Make(),scanf("%lld",&n),printf("%d\n",Sum(n)),0;}

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