【51Nod1239】欧拉函数之和-杜教筛+哈希表

测试地址：欧拉函数之和
做法：这题需要用到杜教筛+哈希表。这一题和51Nod1244（我写的题解）都是杜教筛的模板题。
设f(n)=∑ni=1φ(i)，利用∑d|nφ(d)=n这一性质来推导式子，我们来求函数I(n)=n的前缀和，显然∑ni=1I(i)=n(n+1)2，那么∑ni=1∑d|iφ(d)=n(n+1)2，所以：

∑i=1n∑d=1⌊ni⌋φ(d)=∑i=1nf(⌊ni⌋)=n(n+1)2

将f(n)一项提出来，得：

f(n)=n(n+1)2−∑i=2nf(⌊ni⌋)

递归+分块计算+哈希表判重+预处理106以内的f即可通过此题。注意，做乘法时两边数值可能较大，需要先对109+7取模再相乘。
以下是本人代码：
简单直接的除数取余哈希（AC）：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#define ll long long#define limit 1000000#define size 7500000#define smod 7500000#define mod 1000000007using namespace std;ll n,h[size+5]={0},f[size+5];int phi[limit+5],sum[limit+5],tot=0;bool prime[limit+5]={0};int hash(ll x){  int pos=x%smod;  while(h[pos]&&h[pos]!=x) pos=(pos+1)%smod;  return pos;}void calc_phi(ll x){  for(int i=1;i<=x;i++)    phi[i]=i;  for(ll i=2;i<=x;i++)    if (!prime[i])    {      for(ll j=1;j*i<=x;j++)      {        prime[i*j]=1;        phi[i*j]=phi[i*j]/i*(i-1);      }    }  sum[0]=0;  for(int i=1;i<=x;i++) sum[i]=(sum[i-1]+phi[i])%mod;}ll mult(ll a,ll b,ll c){  if (a%c==0) a/=c;  else b/=c;  a%=mod,b%=mod;  return (a*b)%mod;}ll count(ll x){  int pos=hash(x);  if (x<=limit) return (ll)sum[x];  if (h[pos]==x) return f[pos];  ll s=0,i=2,next;  while(i<=x)  {    next=x/(x/i);    s=(s+mult(next-i+1,count(x/i),1))%mod;    i=next+1;  }  h[pos]=x,f[pos]=((mult(x,x+1,2)-s)%mod+mod)%mod;  return f[pos];}int main(){  calc_phi(limit);  scanf("%lld",&n);  printf("%lld",count(n));  return 0;}

类似邻接表布局的除数取余哈希（TLE，13/25）：
所以就不应该乱想什么诡异的技巧……

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#define ll long long#define limit 1000000#define size 5000000#define smod 5000000#define mod 1000000007using namespace std;ll n,h[size+5]={0},f[size+5];int phi[limit+5],sum[limit+5],tot=0,first[size+5]={0},next[size+5];bool prime[limit+5]={0};int hash(ll x){  int s=x%smod,pos;  for(pos=first[s];pos;pos=next[pos])    if (h[pos]==x) break;  if (!pos) pos=++tot,next[pos]=first[s],first[s]=pos;  return pos;}void calc_phi(ll x){  for(int i=1;i<=x;i++)    phi[i]=i;  for(ll i=2;i<=x;i++)    if (!prime[i])    {      for(ll j=1;j*i<=x;j++)      {        prime[i*j]=1;        phi[i*j]=phi[i*j]/i*(i-1);      }    }  sum[0]=0;  for(int i=1;i<=x;i++) sum[i]=(sum[i-1]+phi[i])%mod;}ll mult(ll a,ll b,ll c){  if (a%c==0) a/=c;  else b/=c;  a%=mod,b%=mod;  return (a*b)%mod;}ll count(ll x){  int pos=hash(x);  if (x<=limit) return (ll)sum[x];  if (h[pos]==x) return f[pos];  ll s=0,i=2,next;  while(i<=x)  {    next=x/(x/i);    s=(s+mult(next-i+1,count(x/i),1))%mod;    i=next+1;  }  h[pos]=x,f[pos]=((mult(x,x+1,2)-s)%mod+mod)%mod;  return f[pos];}int main(){  calc_phi(limit);  scanf("%lld",&n);  printf("%lld",count(n));  return 0;}