[51NOD1239]欧拉函数之和

题目大意

给定n，试求

∑i=1nφ(i)

2≤n≤1010

---

题目分析

杜教筛裸题。
令S(n)=∑ni=1φ(i)。用恒等函数1卷上φ函数得到单位函数ϵ，于是有：

S(n)=(n+1)n2−∑i=2nS(⌊ni⌋)

然后按照n23分段，前面线筛后面递推即可。
时间复杂度O(n23)。

---

代码实现

这个用记忆化实现的杜教筛比之前那个好看多了。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>using namespace std;typedef long long LL;const int P=1000000007;const int L=4641600;const int N=100050;const int itwo=500000004;int pri[L],phi[L],sum[L],f[L];bool mark[L];bool vis[N];int S[N];int l,s;LL n;void pre(){    l=trunc(pow(n,2.0/3.0)),s=trunc(sqrt(n));    mark[1]=1,phi[1]=1,sum[1]=f[1]=1;    for (int i=2;i<=l;++i)    {        if (!mark[i]) pri[++pri[0]]=i,phi[i]=i-1,f[i]=i;        for (int j=1,k;j<=pri[0];++j)        {            if (1ll*pri[j]*i>l) break;            mark[k=pri[j]*i]=1,f[k]=pri[j];            phi[k]=phi[i]*(pri[j]-(f[k]!=f[i]));            if (!(i%pri[j])) break;        }        sum[i]=(sum[i-1]+phi[i])%P;    }}int id(LL x){return n/x;}int sieve(LL n){    if (n<=l) return sum[n];    int idn=id(n),res=1ll*(n%P)*((n+1)%P)%P*itwo%P;    if (vis[idn]) return S[idn];    for (LL st=2,en,x;st<=n;st=en)    {        x=n/st,en=n/x+1;        res=(res-1ll*sieve(x)*(en-st)%P+P)%P;    }    return vis[idn]=1,S[idn]=res;}int main(){    freopen("phi.in","r",stdin),freopen("phi.out","w",stdout);    scanf("%lld",&n),pre(),printf("%d\n",sieve(n));    fclose(stdin),fclose(stdout);    return 0;}