线段和圆/球的相交性检测

本文讨论2D中线段和圆的相交性检测，检测的方法也适用于3D中线段和球之间的相交性测试，这是因为可以在包含线段和球心的平面进行检测，从而将3D问题转化为2D问题。（如果线段包含在穿过球心的直线上，那么这个平面就不是唯一的，但这并不是问题，在这种情况下我们能使用任意包含射线和球心的平面来进行计算。）

  如下图用圆心c和半径r来定义球，线段的定义为：p(t)=p0+td，这里d为单位向量，t从0变化到l，l为线段长度。所要求的是交点处t的值：

  t = a - f;

  a的计算方法如下，设e为从p0直线圆心c的向量：

  e = c - p0;

  将e投影到d上，这个向量的的长度为a，它的计算式为：

  a = e.d（点乘）  （此式看不明白的请参考向量投影相关知识）

  现在的任务就是计算f。首先，根据勾股定理，可以很清楚地得到：

  f²+b²=r²

  在较大的三角形中用勾股定理求得b²:

  a²+b²=e²

  b^{2 =} e²-a²

  e是从线段起点到圆心之间的距离，也就是向量e的长度，因此，e²:

  e² = e.e

  代入并化简得：

  f = sqrt(r²-e²+a²)

 最后求得t:

 t = a - f

 这里考虑开根号出来的正负两种情况，从而得到两个交点。

  这里注意为负，那么射线与圆不相交。

 

代码实现如下:

#include "iostream"#include "math.h"using namespace std;#define EPS 0.00001struct pointf {float x;float y;pointf(){}pointf(float m, float n) : x(m),y(n){}};/*** @brief 求线段与圆的交点* @return 如果有交点返回true,否则返回false* @note 与圆可能存在两个交点，如果存在两个交点在ptInter1和ptInter2都为有效值，如果有一个交点，则ptInter2的值为* 无效值，此处为65536.0*/bool LineInterCircle(const pointf ptStart, // 线段起点const pointf ptEnd, // 线段终点const pointf ptCenter, // 圆心坐标const float Radius,pointf& ptInter1,pointf& ptInter2){ptInter1.x = ptInter2.x = 65536.0f;ptInter2.y = ptInter2.y = 65536.0f;float fDis = sqrt((ptEnd.x - ptStart.x) * (ptEnd.x - ptStart.x) + (ptEnd.y - ptStart.y) * (ptEnd.y - ptStart.y));pointf d;d.x = (ptEnd.x - ptStart.x) / fDis;d.y = (ptEnd.y - ptStart.y) / fDis;pointf E;E.x = ptCenter.x - ptStart.x;E.y = ptCenter.y - ptStart.y;float a = E.x * d.x + E.y * d.y;float a2 = a * a;float e2 = E.x * E.x + E.y * E.y;float r2 = Radius * Radius;if ((r2 - e2 + a2) < 0){return false;}else{float f = sqrt(r2 - e2 + a2);float t = a - f;if( ((t - 0.0) > - EPS) && (t - fDis) < EPS){ptInter1.x = ptStart.x + t * d.x;ptInter1.y = ptStart.y + t * d.y;}t = a + f;if( ((t - 0.0) > - EPS) && (t - fDis) < EPS){ptInter2.x = ptStart.x + t * d.x;ptInter2.y = ptStart.y + t * d.y;}return true;}}void main(void){pointf ptStart(3.0, 2.0);pointf ptEnd(10.0, 6.0);pointf ptCenter(10.0, 4.0);float fR = 3.0;pointf pt1, pt2;if (!LineInterCircle(ptStart, ptEnd, ptCenter, fR, pt1, pt2)){cout<<"不相交!"<<endl;}else{cout<<"交点"<<endl;cout<<pt1.x<<" "<<pt1.y<<endl;cout<<pt2.x<<" "<<pt2.y<<endl;}}

程序输出：

交点
7.01444 4.29396
65536 65536
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