线段和圆/球的相交性检测

来源：互联网发布：windows命令行创建文件编辑：程序博客网时间：2024/05/29 09:11

本文讨论2D中线段和圆的相交性检测，检测的方法也适用于3D中线段和球之间的相交性测试，这是因为可以在包含线段和球心的平面进行检测，从而将3D问题转化为2D问题。（如果线段包含在穿过球心的直线上，那么这个平面就不是唯一的，但这并不是问题，在这种情况下我们能使用任意包含射线和球心的平面来进行计算。）

如下图用圆心c和半径r来定义球，线段的定义为：p(t)=p0+td，这里d为单位向量，t从0变化到l，l为线段长度。所要求的是交点处t的值：

t = a - f;

a的计算方法如下，设e为从p0直线圆心c的向量：

e = c - p0;

将e投影到d上，这个向量的的长度为a，它的计算式为：

a = e.d（点乘）（此式看不明白的请参考向量投影相关知识）

现在的任务就是计算f。首先，根据勾股定理，可以很清楚地得到：

f²+b²=r²

在较大的三角形中用勾股定理求得b²:

a²+b²=e²

b^{2 =}e²-a²

e是从线段起点到圆心之间的距离，也就是向量e的长度，因此，e²:

e² = e.e

代入并化简得：

f = sqrt(r²-e²+a²)

最后求得t:

t = a - f

这里考虑开根号出来的正负两种情况，从而得到两个交点。

这里注意为负，那么射线与圆不相交。

代码实现如下:

[cpp] view plaincopy
#include "iostream"  
#include "math.h"  
using namespace std;  
  
#define EPS 0.00001  
  
struct pointf   
{  
    float x;  
    float y;  
  
    pointf()  
    {  
  
    }  
    pointf(float m, float n) : x(m),y(n)  
    {  
    }  
};  
  
/** 
* @brief 求线段与圆的交点 
* @return 如果有交点返回true,否则返回false 
* @note 与圆可能存在两个交点，如果存在两个交点在ptInter1和ptInter2都为有效值，如果有一个交点，则ptInter2的值为 
*       无效值，此处为65536.0 
*/  
bool LineInterCircle(  
                const pointf ptStart, // 线段起点  
                const pointf ptEnd, // 线段终点  
                const pointf ptCenter, // 圆心坐标  
                const float Radius,  
                pointf& ptInter1,  
                pointf& ptInter2)  
{  
    ptInter1.x = ptInter2.x = 65536.0f;  
    ptInter2.y = ptInter2.y = 65536.0f;  
  
    float fDis = sqrt((ptEnd.x - ptStart.x) * (ptEnd.x - ptStart.x) + (ptEnd.y - ptStart.y) * (ptEnd.y - ptStart.y));  
      
    pointf d;  
    d.x = (ptEnd.x - ptStart.x) / fDis;  
    d.y = (ptEnd.y - ptStart.y) / fDis;  
  
    pointf E;  
    E.x = ptCenter.x - ptStart.x;  
    E.y = ptCenter.y - ptStart.y;  
  
    float a = E.x * d.x + E.y * d.y;  
    float a2 = a * a;  
  
    float e2 = E.x * E.x + E.y * E.y;  
  
    float r2 = Radius * Radius;  
  
    if ((r2 - e2 + a2) < 0)  
    {  
        return false;  
    }  
    else  
    {  
        float f = sqrt(r2 - e2 + a2);  
  
        float t = a - f;  
  
        if( ((t - 0.0) > - EPS) && (t - fDis) < EPS)  
        {  
            ptInter1.x = ptStart.x + t * d.x;  
            ptInter1.y = ptStart.y + t * d.y;  
        }         
  
        t = a + f;  
  
        if( ((t - 0.0) > - EPS) && (t - fDis) < EPS)  
        {  
            ptInter2.x = ptStart.x + t * d.x;  
            ptInter2.y = ptStart.y + t * d.y;  
        }  
  
        return true;  
    }  
}  
  
void main(void)  
{  
    pointf ptStart(3.0, 2.0);  
    pointf ptEnd(10.0, 6.0);  
  
    pointf ptCenter(10.0, 4.0);  
    float fR = 3.0;  
  
    pointf pt1, pt2;  
  
    if (!LineInterCircle(ptStart, ptEnd, ptCenter, fR, pt1, pt2))  
    {  
        cout<<"不相交!"<<endl;  
    }  
    else  
    {  
        cout<<"交点"<<endl;  
        cout<<pt1.x<<" "<<pt1.y<<endl;  
  
        cout<<pt2.x<<" "<<pt2.y<<endl;  
    }  
      
}  

程序输出：

交点
7.01444 4.29396
65536 65536
Press any key to continue

0 0