多重背包问题

问题：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件体积是v[i]，重量是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且重量总和最大。

分析：这个问题和完全背包问题类似，最基本的状态转移方程只需要将完全背包问题的状态转移方程稍微改动一下即可得到s[i][j]=max{s[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]} (0<=k<=n[i])，递推边界为当i=0时s[i][j]=0。显然，这个算法的时间复杂度为O(V*∑(1<=i<=N)n[i])。

代码：

for (int i=0; i<=V; i++) s[0][i]=0  // 边界
for (int i=1; i<=N; i++)
{
      for (int j=0; j<=V; j++)
      {
            int m=0;

            for (int k=0; k<=n[i] && k*v[i]<=j; k++)
            {
                  int t=s[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i];

                  if (t>m) m=t;
            }
            s[i][j]=m;
      }
}

 

一维数组

for(i=0;i<N;i++)
 for(j=V;j>=v[i];j--)
  for(k=0;k<=n[i];k++)
   if(t[j]<t[j-k*v[i]]+k*w[i]&&j>=k*v[i])
    t[j]=t[j-k*v[i]]+k*w[i];   

 

多重背包二进制压缩

转化成01背包:

伪代码:

 procedure MultiplePack(cost,weight,amount)
    if cost*amount>=V
        CompletePack(cost,weight)
        return
    integer k=1
    while k<amount
        ZeroOnePack(k*cost,k*weight)
        amount=amount-k
        k=k*2
    ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

思路与完全背包中＂将一种物品拆成多件物品＂一样.将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为
1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种
物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

 POJ1276 Cash Machine

 

/*多重背包问题，本题如不使用二进制分物品可能会超时，
毕竟数目不小。另一个要注意的点是不用考虑找的最少钱数，
只要能找出钱就行了，因此用0和1（dp[0]=1)赋值就行了，如
果能找到钱就赋非0值，结果输出dp值为非0的最大数就行了。*/
#include <cstdio>

int value[100];

int dp[100010];
int main()
{
int cash,n,count,num,val;
while(scanf("%d",&cash)!=EOF)
{
        count=0;
scanf("%d",&n);
for ( int i=0;i<n;i++)
{
             scanf("%d%d",&num,&val);
int k=1;
while (num-k>=0)
{
num-=k;
value[count++]=k*val;
k*=2;
}
if (num) value[count++]=num*val;

}


for (int i=1;i<=cash;i++)
dp[i]=0;
dp[0]=1;
      
for (int i=0;i<count;i++)
for (int v=cash;v>=value[i];v--)
if (!dp[v])
dp[v]=dp[v-value[i]];


for (int i=cash;i>=0;i--)
if (dp[i])
{ printf("%d/n",i); break;}
}

return 0;
}

 

多重背包O(N*V）算法

总个数 n     
总体积 maxv   
设每件对于每件物品I 
  价值 w[i]    
  体积 v[i] 
  个数 m[i] 
  
  辅助数组  b:array[1..maxv] of integer 
  记录数组  f:array[1..maxv] of integer 
  
伪代码 
  for i:=1 to n do  
     for j:=v[i] to maxv do 
          begin  
          for k:=v[i] to maxv do b[k]:=0;    
          temp:=f[j-v[i]]+w[i]; 
          if (temp>f[j]) and (b[j]<m[i]) then 
                          begin  
                           f[j]:=temp; 
                           b[j]:=b[j-v[i]]+1;   
                           {这一句记录了F[V]中放置第i个物品的个数}  
                          end; 
               
          end;                
 对于混合背包，只须将0-1的m[i]:=0, 
  无限使用的m[i]:=trounc(maxv/v[i]),就行了，不需分类讨论