01背包问题

 

问题：有N件物品和一个容量为V的背包，第i件物品的体积是v[i]，重量是w[i]。求从N个物品中选若干件物品放入背包，总体积不超过V的前提下所能达到的最大重量。

分析：容易看出这个问题的子问题其实就是求解把i件物品放入容量为j的背包所能达到的最大重量。于是可以定义状态s[i][j]表示把i件物品放入容量为j的背包中的最大重量，于是可得状态转移方程s[i][j]=max{s[i-1][j], s[i-1][j-v[i]]+w[i]}。下面详细解释下这个方程，若只考虑第i件物品的策略（放或者不放），则问题就可以转化为一个只与前i-1个物品有关的问题了。假设没放第i件物品，则当前最大重量实际就等于把前i-1个物品放入背包所能得到的最大重量；假设放了第i件物品，则当前最大重量就等于把前i-1个物品放入背包所能得到的最大重量加上第i件物品的重量。显然，在状态转移的过程中我们需要以上两种情况中重量更大的一种。递推边界为，当i=0时s[i][j]=0。得出状态转移方程过后，不难得出一个时空复杂度均为O(N*V)的算法，具体实现见代码。

代码：

for (int i=0; i<=V; i++) s[0][i]=0;  // 边界
for (int i=1; i<=N; i++)
{
      for (int j=0; j<=V; j++)
      {
            int t=0;

            if (j-v[i]>=0) t=s[i-1][j-v[i]]+w[i];
            s[i][j]=max(s[i-1][j], t);
      }
}

优化：

不难发现上面的代码在空间复杂度上还有压缩的空间，s[i][j]的值只与s[i-1][j]或者s[i-1][j-v[i]]有关。显然这可以将空间复杂度由O(N*V)降低为O(V)，时间复杂度和原算法相同，为O(N*V），具体实现见代码。

代码：

for (int i=0; i<=V; i++) s[i]=0;  // 边界
for (int i=1; i<=N; i++)
{
      for (int j=V; j>=v[i]; j--) s[j]=max(s[j], s[j-v[i]]+w[i]);
}