用动态规划解--滑雪题 算法分析

关键字: 动态规划

问题描述：
Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子

 1  2  3  4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。
Input
输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。

Output
输出最长区域的长度。
Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

Sample Output

25
分析及代码实现：

这个问题应该来说是个简单的，很容易想到用动态规划去做的题目。这个问题满足最有子结构
是比较容易看出来。非常容易建立如下递归式：
如果从i,j可以顺着某侧滑的话：
dis_sk[i][j] = max{dis_sk[i-1][j],dis_sk[i][j-1],dis_sk[i+1][j],dis_sk[i][j+1]}+1
那么我们很容易写出递归的：
int dis(int i,int j){
  for(i,j上侧，下侧，左侧，右侧)
      if(该位置没有越界){
         if(顺着该侧可以往下滑)
            如果该侧位置可以滑行的距离(递归调用dis函数)大于dis_sk[i][j]，则把dis_sk[i][j]改成该距离+1
      }
}
把这个递归改成动态规划很容易，只要在开始判断一下
if(dis_sk[i][j]) return dis_sk[i][j]; //dis_sk[i][j]开始为0
这样基本上就可以很顺畅的写出代码了：
定义的变量如下：

cpp 代码

1. int h[101][101];//输入的高度值   
2. int dis_sk[101][101];//记录了每个点可以滑行的最大距离   
3. int dx[]={-1,1,0,0};//为了方便上下左右侧的滑行的最大距离而使用的方便数组   
4. int dy[]={0,0,-1,1};   
5. int r,c;//输入的行和列  

 一个用来判断是否越界的辅助函数：

cpp 代码

1. bool in_bound(int i,int j){   
2.    return i >= 0 && i < r && j >= 0 && j < c;    
3. }  

下边就是以lookup方式写的动态规划实现的从i,j下滑最大距离：

cpp 代码

1. int dis(int i,int j){   
2.     int temp;   
3.     if(dis_sk[i][j])//如果已经求出来了，直接返回   
4.         return dis_sk[i][j];   
5.     for(int k = 0; k < 4; k++){   
6.         if(in_bound(i+dx[k],j+dy[k])){//如果没有越界   
7.             if(h[i][j] > h[ i+dx[k] ][ j+dy[k] ]){//如果顺着该侧可以滑   
8.                temp = dis(i+dx[k],j+dy[k]);//递归求dis(i+dx[k],j+dy[k])，并保存在临时变量temp中   
9.                dis_sk[i][j] = dis_sk[i][j] > temp ? dis_sk[i][j] : temp + 1;//如果dis_sk[i][j]比temp小，则取temp+1   
10.             }   
11.         }   
12.     }   
13.     return dis_sk[i][j];   
14. }  

最后是main函数，取dis(i,j)的最大者就是所求的最长区域的长度：

java 代码

1. int main(){   
2.   int max_dis = 0;   
3.   int temp;   
4.   int i,j;   
5.   cin >> r >> c;   
6.   for(i = 0; i < r; i++)   
7.       for(j = 0; j < c; j++){   
8.         cin >> h[i][j];   
9.         dis_sk[i][j] = 0;   
10.       }   
11.   
12.   for(i = 0; i < r; i++)   
13.       for(j = 0; j < c; j++){   
14.           temp = dis(i,j);   
15.           max_dis = max_dis > temp ? max_dis : temp;   
16.       }   
17.   
18.   cout << max_dis + 1 << endl;   
19.   return 0;   
20. }