关于计算机的内码表示的总结（补码，反码，移码，原码）

声明：本文的内容完全来源于百度百科以及一些网友的博客，撰写本文的目的是为了更方便的理解计算机的各种编码知识。在此向各位提供材料的朋友致谢，也希望本文的总结能给其他网友一些帮助。

 

补码

　　

补码举例

1、在计算机系统中，数值一律用补码来表示（存储）。
　　主要原因：使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补
　　码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。
　　2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。
　　数值的补码表示也分两种情况：
　　（1）正数的补码：与原码相同。
　　例如，+9的补码是00001001。
　　（2）负数的补码：符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反；然后整个数加1。
　　例如，-7的补码：因为是负数，则符号位为“1”,整个为10000111；其余7位为-7的绝对值+7的原码
　　0000111按位取反为1111000；再加1，所以-7的补码是11111001。
　　已知一个数的补码，求原码的操作分两种情况：
　　（1）如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，所以补码就是该数的原码。
　　（2）如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，求原码的操作可以是：符号位为1，其余各位取
　　反，然后再整个数加1。
　　例如，已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）：因为符号位为“1”，表示是一个负
　　数，所以该位不变，仍为“1”；其余7位1111001取反后为0000110；再加1，所以是10000111。
　　在“闲扯原码、反码、补码”文件中，没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”
　　的概念：
　　“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范
　　围，即都存在一个“模”。例如：
　　时钟的计量范围是0～11，模=12。
　　表示n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n)。
　　“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的
　　余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。
　　例如： 假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：
　　一种是倒拨4小时，即：10-4=6
　　另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6
　　在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。
　　对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特
　　性。共同的特点是两者相加等于模。
　　对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再
　　加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的
　　模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以
　　了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。
　　另外两个概念
　　一的补码(one's complement) 指的是正数=原码,负数=反码
　　而二的补码(two's complement) 指的就是通常所指的补码。
　　3.补码的绝对值（称为真值）
　　【例7】-65的补码是10111111
　　若直接将10111111转换成十进制，发现结果并不是-65，而是191。
　　事实上，在计算机内，如果是一个二进制数，其最左边的位是1，则我们可以判定它为负数，并且是用补码表示。
　　若要得到一个负二进制数的绝对值（称为真值），只要各位（包括符号位）取反，再加1，就得到真值。
　　如：二进制值：10111111（-65的补码）
　　各位取反：01000000
　　加1：01000001（+65的补码）
　　这里补充补码的代数加减运算：
　　1、补码加法
　　[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补
　　【例8】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补
　　[X]补=00110011 [Y]补=11010111
　　[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 = 00110011+11010111=00001010
　　注：因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是
　　100001010，而是00001010。
　　2、补码减法
　　[X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补
　　其中[-Y]补称为负补，求负补的方法是：符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反；然后整个数加1。
　　【例9】1+（-1） [十进制]
　　1的原码00000001 转换成补码：00000001
　　-1的原码10000001 转换成补码：11111111
　　1+（-1）=0
　　00000001+111111111=00000000
　　00000000转换成十进制为0
　　0=0所以运算正确。
　　这里补充补码的代数解释：
　　任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;
　　这个假设a为正数，那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法，我们可以把a表示为：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)
　　这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0，而且这里设a的二进制位数为n位，即其模为2^(n-1),而2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)，而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)两式，2^(n-1)-a＝(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反，而为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1)这项未解释，这项就是补码里首位的1，首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1)，这正是n位二进制的模。
　　不能贴公式，所以看起来很麻烦，如果写成代数式子看起来是很方便的。

　　注：n位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1,所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位，表示的数值范围为0——2^8-1。

闲扯原码、反码、补码

   相信大家看到这个标题都不屑一顾，因为在任何一本计算机基础知识书的第一章都有他们的解释，但是在书上我们只能找到一些简单的定义，没次看过之后不久就忘了。最近论坛里有人问起这些概念，看到很多人的回复是以前看过现在忘了去看看某某书之类，很少有给出一个合理的解释。于是本人就开始思考（虽然上帝会发笑，我还是要思考。），于是得出了以下的结论。

 

   数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制,"正如亚里士多德早就指出的那样,今天十进制的广泛采用,只不过我们绝大多数人生来具有10个手指头这个解剖学事实的结果.尽管在历史上手指计数(5,10进制)的实践要比二或三进制计数出现的晚."(摘自<<数学发展史>>有空大家可以看看哦~,很有意思的).为了能方便的与二进制转换,就使用了十六进制(2 4)和八进制(23).下面进入正题.

数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为

(-127~-0 +0~127)共256个.

有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

( 1 ) ₁₀- ( 1 )₁₀ = ( 1 )₁₀ + ( -1 )₁₀ = ( 0 )₁₀

(00000001)_原 + (10000001)_原 = (10000010)_原 = ( -2 ) 显然不正确.

因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:

( 1 )₁₀ - ( 1 ) ₁₀= ( 1 ) ₁₀+ ( -1 ) ₁₀= ( 0 )₁₀

(00000001) _反+ (11111110)_反 = (11111111)_反 = ( -0 ) 有问题.

( 1 )₁₀ - ( 2)₁₀ = ( 1 )₁₀ + ( -2 )₁₀ = ( -1 )₁₀

(00000001) _反+ (11111101)_反 = (11111110)_反 = ( -1 ) 正确

问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).

于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:

(-128~0~127)共256个.

注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000) 补码的加减运算如下:

( 1 ) ₁₀- ( 1 ) ₁₀= ( 1 )₁₀ + ( -1 )₁₀ = ( 0 )₁₀

(00000001)_补 + (11111111)_补 = (00000000)_补 = ( 0 ) 正确

( 1 ) ₁₀- ( 2) ₁₀= ( 1 )₁₀ + ( -2 )₁₀ = ( -1 )₁₀

(00000001) _补+ (11111110) _补= (11111111)_补 = ( -1 ) 正确

   所以补码的设计目的是:

     ⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些大家应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧！

移码

当真值用补码表示时，由于符号位和数值部分一起编码，与习惯上的表示法不同，因此人们很难从补码的形式上判断其大小，例如：十进制数21，对应的二进制数为+10101，则其补码为0，10101，十进制数-21，对应的二进制数为-10101，则其补码为1，01011
   上述补码表示中‘，’是不存在的。因此，从代码形式看，符号位也是一位二进制数。按6位二进制代码比较大小的话，会得出101011>010101，这与实际大小恰好相反。
如果对每个真值加上2的n次方（n为上述真值中除去符号位后的位数），会得出
10101+100000=110101
-10101+100000=001011
再比较它们的大小会得出110101>001011，这样一来6位代码本身就可以看出它们的大小。（上面的110101是+10101的移码，001011是-10101的移码）。说的再通俗一点，你把数值用移码表示出来可以一眼看出他们的大小。移码常用来比较大小，一般会把浮点数的阶码用移码表示，这样很容易判断阶码的大小。
    实际把数值转换成移码表示的时候，并不需要按上面的方法来算，只须将该数值的补码的符号位取反就可以了（同一个真值的移码和补码仅差一个符号位）。

补充点

移码的定义是这样子：
[x]移＝2^n+x 这里x表示真值，而2^n>x>=-2^-n
通俗点说，移码就是无论正负，在真值上加一个常数2^n

移码的名字是这样来的： 在数轴上，移码所表示的范围，恰好对应于真值在数轴上的范围向正方向移动2^n个单元。 （这句说的很好！！）

引入移码是这样的考虑：
补码表示的好处在于去掉了负号，但人们很难从形式上判断真值大小，与人们的习惯不符；因为补码表示中符号也成了一位二进制的数，补码的表示中与真值相差一个符号位，而且可以从补码看出真值的大小，转换方便 。

移码主要用于表示浮点数的阶码，在浮点数运算中有优势，而且还有用两位符号位的移码，也就是说加上4^n，这就加上了溢出处理了。

在原码上加上一个数，成为移码。
例如，7(10) = 0111（2）（四位）
加上偏移1000成为1111
相应的3的移码为1011、2为1010、1为1001......