数的机器码表示（原码，反码，补码，移码）

1. 机器数和真值

二进制数有正负之分，如N₁=+0.101101，N₂=-0.101101，则N₁是个正数，N₂是个负数。机器不能直接把符号“+”、“-”表示出来，为了能在计算机中表示正负数，必须引入符号位，即把正负符号也用1位二进制数码来表示。把符号位和数值位一起编码来表示相应的数的表示方法包括：原码、补码、反码、移码等。

为了便于在计算机中表示，同时又便于与实际值相区分，在此首先引入机器数和真值的概念。

机器数  用二进制数“0”或“1”来表示数的符号，“0”表示正号，“1”表示负号，且把符号位置于该数的最高数值位之前，这样表示的数称为机器数（或称机器码），即把符号位和数值位一起编码来表示的数就是机器数。

真值  一般书写中用“+”、“-”来表示数的符号，这样表示的数称为真值。

例如：N₁ = +0.101101，N₂ = -0.101101，这是真值，表示成机器数（以原码为例）就是[N₁]_原= 0.101101，[N₂]_原 = 1.101101。

机器数有原码、补码、反码和移码四种表示形式。下面以整数为例说明原码、补码、反码和移码的表示方法。

2. 原码

符号位为0表示正数，为1表示负数，数值部分用二进制数的绝对值表示的方法称为原码表示法，通常用[X]_原表示X的原码。

例如，要表示+59和-59的原码。假设机器数的位数8位（即机器的字长为8位），最高位是符号位，其余7位是数值位，那么，+59和-59的原码分别表示为：

[+59]_原=00111011                  [-59]_原=10111011

写成一般式则为：

正数的原码         [X]_原=X             (0＜X＜2^n-1)

负数的原码         [X]_原=2^n-1-X       (-2^n-1＜X＜0)

注意：0的原码有两个值，有“正零”和“负零”之分，机器遇到这两种情况都当作0处理。

[+0]_原=00000000                    [-0]_原=10000000

原码的表示方法简单易懂，与真值转换方便，但在进行加减法运算时，符号位不能直接参加运算，而是要分别计算符号位和数值位。当两数相加时，如果是同号，则数值相加；如果是异号，则要进行减法运算。而在进行减法运算时，还要比较绝对值的大小，然后用大数减去小数，最后还要给运算结果选择恰当的符号。

为了解决这些问题，人们引进了数的补码表示法。

3. 补码

什么是补码？我们先用日常生活中的实例来进行说明。假如现在时间是7点，而你的手表却指向了9点，如何调整手表的时间？有两种方法拨动时针，一种是顺时针拨，即向前拨动10个小时；另一种是逆时针拨，即向后拨2个小时。从数学的角度可以表示为：

(9+10) -12=19-12=7

或 9-2=7

可见，对钟表来说，向前拨10个小时和向后拨2个小时的结果是一样的，减2可以用加10来代替。这是因为钟表是按12进位的，12就是它的“模”。对模12来说，-2与+10是“同余”的，也就是说，-2与+10对于模12来说是互为补数的。

计算机中的加法器是以2ⁿ为模的有模器件，因此可以引入补码，把减法运算转换为加法运算，以简化运算器的设计。

补码的定义：把某数X加上模数K，称为以K为模的X的补码。

[X]_补=K+X

因此，正数的补码的最高位为符号“0”，数值部分为该数本身；负数的补码的最高位为符号“1”，数值部分为用模减去该数的绝对值。

通过用模2ⁿ减去某数的绝对值的方法来求某数的补码比较麻烦，求一个二进制数的补码的简便方法是：正数的补码与其原码相同；负数的补码是符号位不变，数值位逐位取反（即求其反码），然后在最低位加1。

例如，[+59]_补=[+59]_原=00111011，而[-59]_原=10111011，因此，[-59]_补= 11000100+1 = 11000101。

注意：0的补码只有一种形式，就是n位0。

采用补码表示法进行加减法运算，比原码运算方便多了，符号位可以和数值位一起参加运算，而且不论数是正还是负，计算机总是做加法，减法运算可转换为加法运算。

4. 反码

引入反码的目的是便于求负数的补码。

正数的反码与原码相同，负数的反码是符号位不变，数值位逐位取反。

例如：[+59]_反=[+59]_原=00111011，而[-59]_原=10111011，因此，[-59]_反=11000100。

注意：0的反码也有两个，[+0]_反=00000000，[-0]_反=11111111

在计算机中，求一个数的反码很容易，因此，求一个数的补码也就易于实现。

采用补码运算，计算机的控制线路较为简单，所以，目前大多数计算机均采用补码存储、补码运算，其运算结果仍为补码形式。

综上所述，在n位机中，用n位二进制数补码表示一个带符号的整数时，最高位为符号位，后面n-1位为数值部分。n位二进制数补码表示的范围为-2^n-1～+2^n-1-1。例如，在8位机中，补码表示的范围为-128～+127。

表2-2列出了8位二进制数码在各种表示形式下的对应真值。

表2-2  8位二进制数的各种表示方法

5）移码

移码也称为增码或偏码，常用于表示浮点数中的阶码。

移码可由补码求得，只要把补码的符号位取反就得到了移码。

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