欧几里德——最大公约数

Euclid,欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

 

// recursive
int gcd_recursive(int a,int b)
{
    if ( a%b == 0 )
    {
        return b;
    }
    else
    {
        return gcd_recursive( b, a%b );
    }
}

// non-recursive
int gcd(int a,int b)
{
    int temp=0;
    
    for(;;)
    {
        if ( a%b == 0 )
        {
            return b;
        }
        else
        {
            temp = a%b;
            a = b;
            b = temp;
        }
    }
}