【RQNOJ】【图论】发明测试数据

 

题目描述

题目背景
出题目是一件很费力的事，为一道题出数据则是更加令人痛苦的事情。Wish 现在正在帮一些学弟学妹们出一些信息学竞赛的基础题，但在出数据的过程中遇到了一些棘手的问题……

Wish 出的题目是：找出给定带权图图的最小生成树，为了加大一点难度，给定的图均为无向完全图（即任意两个点均连一条边），并且 Wish 希望这个图中各边的权值尽可能大。

Wish 制作测试数据的方法比较特别，他是先生成一个树，然后再向这个树中加边来构造完全图。但是他发现他的程序有些问题，有的时候最后生成的图的最小生成树并不是开始给定的那个。

由于已经生成了很多组数据，为了检测出哪些数据有问题，他想让你计算出给定的树可构造出的完全图的最小边权值和是多少，于是生成的小于这个和的图的数据就可以筛去了。

题目描述
给定一个树 T，找出一个无向完全图 G，使得 T 是 G 的最小生成树，并且 G 各边的权值之和尽可能小，输出这个最小权值和即可。

输入格式

每个测试点包含多组数据，第一行一个数 t，表示共 t 组测试数据。
后接 t 组测试数据。
每组数据之前有一个空行。
每组数据的第一行有一个数 n，表示给定树的节点数（节点编号 1-n）。
之后 n-1 行，每行三个数 ai、bi、wi，表示节点 ai 和 bi 之间连有一条边，其权值为 wi。

数据范围
1 <= t <= 20
1 <= n <= 15000
1 <= ai, bi <= n
1 <= wi <= 10000

输出格式

对于每组测试数据，输出一行，表示求出的最小权值和。

样例输入

231 2 42 3 741 2 11 3 11 4 2

样例输出

1912

三维状态图像

---

首先，定义一些符号：输入中给出的树记作T。我们要寻找的图记作G。如果u和v是G(同时也是T)中的节点，u和v在G(可能是T)中的边记作uv。在T中u和v间的路径记作uTv(这个路径总存在，而且是唯一的，因为T是一棵树)。图G是看起来是怎样的呢？考虑任意两个点a,b,他俩的边ab不在T中。由于G是一个完全图，ab这条边一定在G中。这条边的权值应该是多少？考虑路径aTb中的一些边(我们叫它cd)。如果ab的权不比cd的权大，那么我们可以通过删掉cd添入ab得到一棵新的生成树T0。无疑，T0是图G的一棵权和不比T大的生成树。但是这与T是G的唯一最小生成树相矛盾。
这一切都意味着图G有以下必要条件：不在树T中的每条边ab的权值都应当严格大于路径aTb中每条边的权值。
一个问题就来了：这个条件是否是充分的？答案是肯定的。为了说明这一点，我们考虑图G中一个异于T的一棵生成树U。由于U异于T，它包含一条不在T中的边(ab)。我们从U中去掉边ab得到了两个连通分量(一个包含点a,另一个包含点b)。显然路径aTb必包含一条能把这俩连通分量连接起来的边(cd)。(否则它无法连接a和b)通过加入cd连接连通分量得到一棵新的生成树U0。但是U0的权和小于U的权和，因为ab的权值大于cd的权值。这意味着U不是G的最小生成树。
现在，方法就很清楚了。对于任意边ab不在路径aTb中的点对a和b，我们给ab确定一个满足上述条件的权值。这可以在O(N*N)的时间内完成(N是T的节点数)。其实仿照Kruskal最小生成树算法我们可以得到一个更快的方法。我们把输入的
边按照权值排序。每次添加一条权值为w的边，把两个连通分量合成一个。此时，我们给其他能连接这两个连通分量的点对牵一条权值为w+1的边，这样得到的结果显然与N*N算法的结果相同，但是只需要O(NlogN)的时间。

（来源：http://xujieqi.blog.hexun.com/22087606_d.html）

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>struct ss{ int a,b,w;} l[15001];__int64 ans,n,t,i,j,k,ai,bi,wi,f[15001],tot[15001];int cmp(const void*a,const void*b){ ss c=*(ss*)a,d=*(ss*)b; if (c.w>d.w) return 1; if (c.w<d.w) return -1; return 0;}int find(int x){ if (f[x]==x) return x; f[x]=find(f[x]); return f[x];}void Union(int a,int b){ int fa=find(a),fb=find(b); if (tot[fa]>tot[fb]) { f[fb]=fa; tot[fa]+=tot[fb]; } else { f[fa]=fb; tot[fb]+=tot[fa]; }}int main(){ scanf("%d",&t); for (i=1;i<=t;++i) { scanf("%d",&n); ans=0; for (j=1;j<=n;++j) { f[j]=j; tot[j]=1; } for (j=0;j<n-1;++j) scanf("%d%d%d",&l[j].a,&l[j].b,&l[j].w); qsort(l,n-1,sizeof(ss),cmp); for (j=0;j<n-1;++j) { int fa=find(l[j].a),fb=find(l[j].b),tem=l[j].w; ans+=(tot[fa]*tot[fb]-1)*(tem+1)+tem; Union(fa,fb); } printf("%I64d/n",ans); } return 0;}