【动态树初探】link-cut tree

很愚昧的以为动态树是一种数据结构，现在才知道动态树是是一类问题（Dynamic Tree Problems）。

 

spoj上有一系列关于树的很有趣的题目（qtree1~4），和树链剖分、动态树有关，所以就狠下心的研究了一番，多亏找到了一篇好论文《qtree解法的一些研究 by yangzhe》，解决动态树问题的数据结构叫link-cut tree（又是tarjan发明的，无限崇拜！！），看懂了思想以后便抱着视死如归的心态编了起来（拿hnoi2010的bounce来练手），因为看了标程，7kb、8kb、7kb，=、=。

 

首先说说树链剖分，差不多就是link-cut tree 的静态版（静态树！？），前提是树的形状不发生改变。树中的重边的定义就是每个点向他最大的儿子（子树大小最大）连的边，其他的边就是轻边。可以证明一个点到根节点经过的轻边数不超过logN，证明：

      定义size（i）为以i为根的子树大小，

      若 i 和 fa(i) 之间连的是轻边

      也就是 存在  j∈son(fa(i))，size(j)≥size(i)

      又∵ size(fa(i))≥size(i)+size(j),

      ∴size(fa(i))>2*size(i).

每走一条轻边节点数都会增大一倍，那当然不可能超过logN条轻边咯。

 

对于一串连续的重边，我们就把它压缩为一条重路径。

如果这棵树的形状不改变，那么重路径自然也不会发生变化，那我们可以用线段树或者是虚二叉树来维护，若会改变，则用splay tree维护（以深度为关键字）。

 

在实际link-cut tree的编写中并不要考虑谁是重边谁是轻边，假设你访问了某一个点，就把它到父亲的边全改为重边就可以了，可以证明也是logN的（证明有点懵。。）。

 

回顾hnoi2010的弹飞绵羊，这正是一个动态树问题（哎，我靠怎么那时候不会捏？），要求支持这样两个操作：

      1.询问某个点的深度。

      2.改变某个点的父亲。

 

记得之前用块状链表水过了，速度还不错，不过看来 link-cut tree 还是以绝对优势压倒了：

 

块状链表：

 

link-cut tree

 

这次还给了我一个教训，不要被标程吓到了。。。可能牛们为了让人更容易看懂才编长一点的吧，却着实把我这种小白吓到了。。。

自己编起来感觉也很舒服，74行，主要注意的还是旋转时候的父亲的转化。

（裸的splay不解释。。。都是想想写写胡编乱抽的）代码：

 

 program link_cut_tree; const maxn=200005;var root:array[0..maxn] of boolean; l,r,fa,s:array[0..maxn] of longint; n,i,task,j,z,k:longint;procedure left(i:longint); begin z:=r[i];r[i]:=l[z];fa[r[i]]:=i;l[z]:=i; if i=l[fa[i]] then l[fa[i]]:=z else if i=r[fa[i]] then r[fa[i]]:=z; //!! fa[z]:=fa[i];fa[i]:=z; root[z]:=root[i] xor root[z]; root[i]:=root[i] xor root[z]; s[i]:=s[l[i]]+s[r[i]]+1; s[z]:=s[l[z]]+s[r[z]]+1;end;procedure right(i:longint); begin z:=l[i];l[i]:=r[z];fa[l[i]]:=i;r[z]:=i; if i=l[fa[i]] then l[fa[i]]:=z else if i=r[fa[i]] then r[fa[i]]:=z; //!! fa[z]:=fa[i];fa[i]:=z; root[z]:=root[i] xor root[z]; root[i]:=root[i] xor root[z]; s[i]:=s[l[i]]+s[r[i]]+1; s[z]:=s[l[z]]+s[r[z]]+1;end;procedure splay(i:longint); begin while not root[i] do if i=l[fa[i]] then right(fa[i]) else left(fa[i]);end;procedure access(i:longint); begin splay(i); while fa[i]<>0 do begin splay(fa[i]); z:=fa[i]; root[r[z]]:=true;root[i]:=false; r[z]:=i; s[z]:=s[l[z]]+s[r[z]]+1; splay(i); end;end;begin assign(input,'input.txt');reset(input); assign(output,'output.txt');rewrite(output); readln(n); for i:=1 to n do begin read(fa[i]);inc(fa[i],i); if fa[i]>n then fa[i]:=n+1; end; for i:=1 to n+1 do s[i]:=1; fillchar(root,sizeof(root),true); readln(task); for task:=1 to task do begin read(z); if z=1 then begin readln(i);inc(i); access(i); writeln(s[l[i]]); end else begin readln(j,k);inc(j); splay(j); fa[l[j]]:=fa[j]; root[l[j]]:=true; l[j]:=0;s[j]:=s[r[j]]+1; fa[j]:=j+k; if fa[j]>n then fa[j]:=n+1; end; end; close(input);close(output);end.