发现最小正数推翻百年集论消除2500年芝诺悖论

发现最小正数推翻百年集论消除2500年芝诺悖论

——中学重大错误：将无穷多各根本不同的点集误为同一集

黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 ，邮编510631。）

[摘要]证明了：有最小正数；已知实数轴R的点有大小；实数与R的点远不可一一对应。从而推翻了百年集论立论的论据，使2500年芝诺著名运动世界难题迎刃而解。指出线段（0，k）与（0，k）（0与k>0之间的所有数组成的集）有根本区别，数形结合须跃出根本误区。“点无大小”使初等几何有史以来一直误以为形状与大小相同的图形必全等——使中学有一系列搞错了变量的变域的几百年重大错误：将y=x轴与用而不知的y=2x轴等无穷多各根本不同的数轴以及相应的不同平面误为同一轴、平面；…。指出两数轴之间也有全等与非全等的关系且给出了判断其是否全等的方法。

[关键词]最小正数；用而不知的数轴、平面；有序集内从大到小的每一元；图形的相似及全等变换；变量的变域：推翻“点无大小”公理、百年“R完备”定理、百年集论；芝诺悖论

爱因斯坦：提出一个问题往往比解决一个问题更重要。因为…，而提出新的问题、从新的角度去看旧问题，却需有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。一部科学发展史就是一部发现问题、解决问题的历史。“研究性学习”就是要培养学生敏锐发现问题的能力以改变其舍本逐末、竞分数而弃实学，从而高分低能的局面。

如由“没别的数”到“还有未识的无理数”是数学认识的飞跃一样，由被蒙在鼓里的“没问题”到“有极重大问题”当然更是…；但目光远大者更关注发现的方法——“渔”。本文改天换地的太重大问题的发现来自于太浅显的集相等的含义：集A=B是说A的元x与B的元y可一一对应相等，以及语文与逻辑学常识。故只要懂：函数与集论的基本概念和几何常识：图形的任何变换都是由于组成图的点p都变为新规定的点p′=f（p），就能读懂本文。本文的内容除第5节外基本没超出初等数学范围。

本文发现有用而不知的两直线段：长度相同但“像素”点却不一样多，从而不全等；以为其全等就引发出一连串的重大错误。

有“在分子水平上的…”也应有在“点子”水平上的数学。只有追根究底地说到“点子”上才能对图形的认识提高到知其所以然的科学程度。然而“线段L是点集”明确表明“点”是线的组成部分，L的长度显然是各部分的长度的总和。小学生也一眼看出“长为0的点能集合成有长度的L”是典型的自相矛盾和无中生有论啊！又如“图形被放大了，但组成图形的点却没增加也没被‘拉扯’大”——这显然不合科学常理。这背后一定隐藏有重大数学奥秘。这反映几何学还不能真正成功地在“点子”水平上来认识与解释图形变化，还是不知其所以然。

如何定量刻划与描述子弹d射进木柱内后又穿出给木柱钻出了一个洞d′这一事实？将d的运动变换为在抽象的曲线上的抽象的点的运动，意义重大。但理论须符合实际，否则必陷入自相矛盾。设z轴是柱子，那么子弹点d（x，y，z）必先与z轴“接吻”，然后才能进入轴内。然而对这一变化规律，常规数学根本不能定量刻划。点d到z轴的点d′的距离ρ≥0，点d进入z轴时ρ=0，但点d与轴“接吻”时ρ=？如[1]所述，这说明数学还无法定量描述d的这一空间位置的改变的有序性质。症结就在“点无大小、线无宽度却又能占据空间位置”上。详论见第4节。若有理论说点d无须先与z轴“接吻”就能…，则其必非正确反映现实世界空间形式与数量关系的理论而必自相矛盾。不能因理论的重大缺陷而否定d的有序变化规律，而应据客观事实填补理论的重大缺陷。

不断靠近的点d与点d′间的距离ρ≥0是由大到小取值的，其不取完变域U的一切正数就绝不能取0，即其必取到无正数可取了，才取0，正如由大到小取值的变域为[-1，1]的x不取0就绝不可取负数一样。不纠正几千年重大错误：U无最小正数，就不能破解2500年芝诺著名运动世界难题。不能真正用数表达运动的相关学科还处于不知其所以然的唯象论阶段。

1.要注意此x>0与彼x>0有根本区别——可视其为0而忽略的x可取一切正数？

说y=2x>x>x/2>0中的y与x都可一个不漏地遍取所有正数就是说x/2>0和x都可一个不漏地遍比所有正数y都小而取非正数——重大错误。否定此事实者暴露其缺乏起码语文与数学常识。y>x中的y的取数范围是受关系式制约的，y可取一切正数的必要条件是x可<一切正数而取非正数。正如0<y<x限制式中x不可取非正数一样。故应有

h常识1：y>x表达对于x的变域X的一切数x都有y>x，以及对于y的变域Y的一切数y都有x<y；y>x中的y可一个不漏地遍取Y的一切数y使代表数的x必可一个不漏地遍比Y的一切y都小而代表（取）Y外的数。代数常识：若代数式y>x中的y代表任何正数则此式所代表的内容之一：有数x<任何正数。

设y₁=x>0中的x可取所有正数即任何正数都可由此x代表，问题是y₂ =2x>x>0与y₃ =x/2<x>0中的x可=y₁吗？h常识1表明y₃ 中的x不可取所有正数。关键：y₃的x被限制是y₃的反函数使其所取的数x都须有别的数x/2与之对应，而独立变量y₁=x就不受此约束即其无须与别的变量如x/k（k>1）有函数关系。同理y₂ 中的x也不可取所有正数。否则就出现重大病句！

学风不正的竞分数而弃实学者无力认识最起码常识：“对于一切（任何）正数x都有0<x”表示0可<一切正数x，将其中的0换为“y₃=x/2”就表示x/2>0可<任何正数x而取非正数——重大错误！

中学数学竟断定

y=x+10¹⁰x=x（1+10¹⁰）≈0+10¹⁰x>>x>0

中与10¹⁰x相比实在是总距0太近了以致于可视其为0而忽略不计的x>0可遍取一切正数即断定y的定义域包含一切正数。

设BЭy表示：B的一切（每一）元y，y的变域是B。由上得

h定理1：元为x>0的V⁺不可既含全部正数而又有V⁺Эx>x/k>0。

2.极浅显集相等概念揭示中学极重大错误：搞错了无穷多变量的变域——将革命道理形象直观化

由小（大）到大（小）变化的变量比比皆是。沿数轴正（负）向滚动的质点的坐标x是由小（大）到大（小）取值的。增函数y=2x中的点x≥0由小到大地取一个个数x就派生出从小到大的一个个2x。若有序数集A＝B则显然A的元与B的元必可由小（大）到大（小）一一对应相等。

一截橡皮筋（橡皮点的集合）     拉长为       后各个点都变长了，但各点之间的前后顺序关系没任何改变。这可看成是一种有序集的元的保序变换。

x数轴A各点均由x变为点y=x，x轴就变换为以点y=x为元的的y=x轴B=A，但A各点x均保序变为点y=kx（k>0）得y=kx轴还=A吗？设想如一硬币叠压在另一硬币上那样，y=x轴B=R的各点y=x都叠压在x轴A=R的点x上，y轴就叠压在x轴上形成一双轴了。上轴点y=x与下轴点x一一对应相等。现上轴的正半轴R⁺的点y=x全都离开原位置地沿轴正向保序前移至新位置y=kx=x+△x>x>0处形成以点y=kx为元的y=kx轴的正半轴Z⁺，R⁺显然就至少空出一正数位置y=x=a落在一切前移了的正数点的后面——非常形象直观地表明R⁺至少有一数a<Z⁺的一切元kx，即不动的下轴A至少有一正数点x=a处在Z⁺的一切点kx的左边而不可与Z⁺的任何点kx对应相等。故Z⁺的点kx与下轴点x>0不可一一对应相等。这就将革命的h定理2形象直观了。

h定理2：元为正数的A的元x>0都保序变大为y（x）=x+△x>x（△x=y-x）得以y为元的B必≠A，且A必至少有一元x<B的一切元y；A的元x都保序变小为x+△x<x得B′必≠A。

证：①A的元x>0与y=x+△x=x是重合在一起的二个数，现y全都保序变大为y=x+△x>x得B，据保序变换的性质A的各x可与B的各y中的x一一对应相等而不可与y本身一一…使B≠A。同样，A的x都保序变小为y=x+△x<x得B′，A的各x不可与B′的各y本身一一对应相等。②据h常识1“BЭy=x+△x>x∈A”明确表达：A中有元x<B的一切元y。证毕。

以上图像表明相等的一双轴的上轴单独保序真变换后就不可=下轴了。故显然有

h推论1：任何有序集J的元x都保序变为y（x）不≡x得以y为元的集必≠J。

x≥0的变域E各数x（设都有对应数10x）均保序变为f（x）=10x得f（E）=F，h定理2表明中学的“E=F”等等是肉眼直观错觉重大错误。说E与F的元可一一对应相等无异于说0，1，2与0，10，20可一一对应相等那么荒唐。

“真传一句话”：x轴R各数x都保序变为kx（k是非1正数），显然各x与各kx不可一一对应相等。

故定义域为R或R⁺的增函数y（x）=kx等的变域必≠R或R⁺。故自有变域概念几百年来世人就一直搞错了此类y的变域，使中学有一系列搞错了变量变域的违反h常识1的根本错误。故如[2]所述几百年解析几何一直将y=x轴与用而不知的y=2x轴、y=x/2轴、…等无穷多各根本不同的数轴误为同一轴：y=x轴，当然也就将无穷多各根本不同的平面等误为同一平面等。x轴R的元x都×定数k>0变为kx所得的集可记为kR。因R≠2R≠（1/2）R≠3R≠…，故R×R≠2R×2R≠2R×R≠2R×3R≠（1/2）R×R≠（1/2）R×（1/2）R≠…。故直线y（x）=kx并非R×R的子集而是R×kR的子集。

搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。

3.此点集（a，b）≠彼点集（a，b）——h常识1推翻百年“R完备”定理

应有关于集合的h常识2：无穷集A若只能～B的一部分就说明B至少比A多含一个元。两集不对等就更谈不上相等。

本节主要论据之一：元为实数点的数轴A与B，若A的线段[0，a]≠B的线段[0，a]就证明A≠B。

x轴A与它的象y=kx轴A′是否全等？据全等的含义若A的线段[0，b]不≌（全等于）A′的线段[0，b]就证明A不≌A′，正如若甲人左手≠乙人左手就证明甲、乙不是同一人一样。显然有

h推论2：元为实数点的数轴A的象是B，若A～B且A的原点的象是B的原点，同时A的任一线段（a，b）都≌B的线段（a，b）则A≌B。

点集D=Z就是相应两图形可重合相等使两图的点能一一对应重合相等。可重合的两图形必全等，两图若不全等就更不可重合——此几何常识表明有：

h定理3：若点集D不≌Z就更≠Z。注！D与Z是否全等不能凭肉眼直观而须严格证明。

y=x轴的线段L=[0，10]的一部分D=[0，1]的各点x均保序变为点y=10x得以点y为元的y=10x轴的线段L′=[0，10] ～D。问题是“L=L′”等等是中学重大错误。理由——

因L′～D的元10x不可与L的元x一一配对而只能与～D的集的元一一配对（h问题：谁能在x∈L与10x∈L′之间建立一一对应的关系？），故：①据h常识2，L≠L′。②据全等变换的定义，L′不～L就不可有L′≌L从而更不可有L′=L（h定理3）。缘于它们的组成成员不同：L的元是点x而L′的元却是点10x。且极显然：“对于L′从大到小的每一元y=10x>x∈D都有D的正数x<y”就是说DÌ L有正数x<L′的每一元y。

可见存在无穷多双等长直线段，其各双都不可对等从而更不全等、更更不可重合相等。应有：

逻辑学常识s：因直线段是由各点按一定的排列方式各就各位地分别占据一定位置而形成的，故若点的多少和排列顺序、方式都没改变，点的大小也没改变，就绝不会有图形的形状与大小的改变。

橡皮平面上的数轴是橡皮直线。y=x轴的D“拉长”变换为y=10x轴的L′（L′叠压在y=x轴的L上），点的多少和排列顺序都没改变，据常识s若“点的大小也没改变”就构成尖锐自相矛盾：线段D的点没发生使D变长的变换却能有D的变长（这犹如说水平面上的车是在重力的作用下前进的那么荒唐）。不符实际的思想必自相矛盾不合逻辑。

h常识1 表明“对于x轴内从大到小的每一正数x都有标准正数y=x/2<x”就是说有标准正数y<x轴的每一正数y。故x轴Ｒ的线段[0，1]与[0，1]有根本区别。故人们在对“Ｒ已完备”深信不疑的同时又一直在不自觉地使用轴外的标准正数。“Ｒ^＋Эx>标准正数x/k=y>0”直接表达有数0<Ｒ^＋的所有x，同时也直接表达有标准正数y<Ｒ^＋的所有x。式中x可一个不漏地遍取Ｒ^＋的一切数x使0与代表正数的y都必可一个不漏地遍比Ｒ^＋的所有x都小而成为Ｒ^＋外数——表明Ｒ^＋外还有“更无理”标准正数y！

4.再三论证有最小正数推翻百年集论破解2500年芝诺著名运动世界难题

定义：形如y≡k（y/k）=kx（k≠0）的数y称为凡数而有性质：各y都有对应数 y/k，否则称为非凡数。

形如Ⅰ式：y≡k（y/k）=kx>x>0的正凡数y都有性质：在y与0之间至少有一正数x，即正凡数都至少>一个正数。因1以内的正数x都有对应数kx>x，故可设Ⅰ式的x的变域是D=（0，1），以下证明D中有非凡数：

D=（0，1）的元x>0都保序变大为y（x）=kx=x+△x>x∈D 得以y为元的Z～D。Z真的=（0，k>1）=D∪[1，k）=K吗？即定义域为D的y=kx的值域Z=K吗？

①因Z～D不可～K（参见h问题）而只可～K 的一部分：D以及与D～的集，故据关于集的h常识2，K至少比Z多含一个元（故Z～D是K 的真子集）即K必至少有一x=t不能纳入Z内；且由h定理2，DÌK中必至少有一元x<Z的一切元kx。由函数知识，K的所有凡数y=kx>x∈D组成了Z，Z外无凡数∈K，故Z外的正数t∈K必是非凡数而不可至少>一个正数, 即其小至无对应正数t/k∈D，显然t就是最小正数0′而在0与0′之间连一个正数也没有！相应的0′/2等都不代表数，无意义，正如当x=0时c/x不能代表数一样。同样，x±0′/2等等都不是数。详论见[3]。

②说Ⅰ式中的x可取D的一切数没问题，但据h常识1，说Ⅰ式的y>x也可一个不漏地遍取D的所有数，那就是说变域为D的x可一个不漏地遍比D的所有数y都小而取D外数——荒唐！故D内必至少有一此y>x（可取K的所有凡数）不可取的非凡数x=0′。“ZЭy=kx>x>0”直接表达有数0<Z的所有元kx，同时也直接表达有正数x<Z的所有元kx。关键是式中y可一个不漏地遍取Z的一切数使0与代表正数的x都必可一个不漏地遍比Z的所有kx都小而成为(代表)Z外的数。

③语文常识：“对于Z内从大到小、一个不漏的每一元y=kx都有D的x<y”就是说D必有x=t<Z的每一y，t显然是非凡数。证毕。

可见(a,b)中有最小、大元：a+0′与b-0′。故中学的“定义域为（0，1）的y（x）=x/k（k>1）与y=x²等等”是不能成立的。应改为“定义域为数轴的线段（0，1）的y=…”。人们在计算中用的数一般都是凡数，但这≠数学本身没有非凡数，正如谁也不能画出长≠0但又短至＜“任意给定的正数ε”的无穷短线段，≠数轴没有此类直线段一样。由小到大取值且变域为(0,1)的变量若没有第一次的取值就绝不能有以后各次的取值，人类不知其第一次取何数，恰恰表明人对变量变化的规律无力把握。

各正数都能由x代表，但代表正数的x都有对应符号x/k≠各正数x都有对应正数x/k。显然y+0′与数y之间没有数。

上述证明中的“（0，1）”换为“R的线段（0，1）”；“…”换为“R的凡数”；“…”换为“R的正凡数都至少>一正数∈R”等；就有

h定理4：x轴R有最小正数点x=⊕使一切⊕/k（k>1）都不∈R而是R外正数。相应y=kx（正数k≠1）轴有最小正数点y=k⊕。

将“（0，1）”换为“元为正数的集”，…，可证：

h定理5：元为正数的集V⁺均有最小元。由此理得

h推论3：由非负数组成的集都必有最小正数元。故形如ρ≥0的距离函数ρ的变域必有最小正数元。

可见元为实点的任何y数轴T的各正数y若都有比其小的正数y/k（k>1），则并非所有y/k都能还在T内！R⁺的线段（0，1）各元可排为一有首、末项的无穷数列：⊕,2⊕,…，n⊕，…，1-⊕。故x轴是由长为⊕的点组成的。故集论立论的论据被推翻。若⊕有无穷多对应正数⊕/k（k>1）则⊕及>⊕的正数相比下全都是极大极大正数，故x轴的各点远不可与各实数一一对应。当然，⊕是<一切已知正数的关于⊕的一级无穷小正数，1/⊕是>一切已知正数的无穷大正数，⊕²是关于⊕的二级无穷小正数，…。

⊕=⊕²/⊕=（1/⊕）⊕²是⊕²的1/⊕倍；…；低级无穷小正数无穷大倍于高级无穷小正数，记为⊕^1/2>>>⊕>>>⊕²>>>…。⊕具有既小又大的两重性。x轴R的各一般正数点x均有与之最近的同属R的正数点x+⊕，x均为⊕的正整数倍，x±⊕/2等等都不∈R。

如[1]所述将⊕放大1/⊕倍，R就是由长度为1的点组成的，2R是由长为2的点组成的，…。紧挨着的两对点：□□ 、◇◇（还可是长方形等等）的点与点间的距离是它们的中心的连线的长。如水是由水分子组成的那样，R由有大小的相对于R来说不可再分的“分子”点组成，分子也是无限可分的，即R的点也是无限可分的：其也是无穷多个更小的点的点集，但凡长≠⊕的点都不是R的“分子”。各点的大小、形状都一样的直线等称为单纯点集，有的直线中的点的大小、形状并非都一样，称其为混合点集，正如糖水内既有水分子也有糖分子那样。对数轴的结构的认识限于篇幅这里只能挂一漏万。

上述连续变化的ρ≥0的变域可形象化为相应数轴的线段[0，b）等。稍有头脑的人都能明白若由大到小取值的x≥0每取一正数x都必有下一正数x/2要取即其取正数的过程没完没了，则其绝不可取0。几何常识：沿数轴运动的点由位置b移至a处必遍经两处之间的一切位置之后才能到达a处。不识2处之间的一切位置的坐标数就根本不能真正用数来表达运动。有数学定理断定R的任何正数点位置都与原点至少相隔一个点∈R。这无异于断定由大到小取值的x轴的动点x≥0绝不可取0——非常尖锐的自相矛盾！2500年芝诺著名世界难题难在“点无大小”上，一旦人们认识到直线是由有大小的点一个紧挨一个地排列而成的，难题就迎刃而解了。

中国古人的“无厚不可积” 否定无中生有论。有厚度的面才可累积为体、有长度的点才可累积为线、有宽度的线才可累积为面。2500年前古人就猜想线是由不可分的“线原子”构成的，相应的“不可分量法”行之极有效，但却“没科学根据”。症结是持法人不知点也是无限可分的。

5.搞错正负号会造成重大损失——点的坐标数与点本身有根本区别

点集中的点有大小且有大点与小点之分，故数集的大小只由元的多少决定，而点集的大小就还与点的大小有关。故在“点y”中不可将表示点的空间位置的坐标数y与点本身混为一谈。

xy面=R×R与其扩张面uv（u=v=2x）面不≌，因前者的直线y=x与后者的直线v=u不≌（据全等的定义）；也与xy（y=kx）（k是非1有穷正数）面不≌，它们可叠压而不可重合在一起。

据h推论3，xy面上任何过点(0，0)的连续曲、直线上的点(x ,y)到(0，0)的距离ρ_i（i=1，2，…）≥0的变域U_i中都必有最小正数元——表明各线都有与(0，0)最近的点(x ,y)。R×R的点(x≠0 ,y≠0)到(0，0)的距离的平方是ρ²=x²+y²>0，因|x|、|y|能取的最小值都是⊕，故ρ²能取的最小值=2⊕²。故R×R的第一象限内与(0，0)“接吻”的点只能是(x=⊕ ,y=⊕)，同样，…；故存在(0，0)的最小去心邻域h内只能有8个点！

常需研究函数在一点邻近的性态。△z=dz+d²z/2！+d³z/3！+…往往是很复杂函数而不能计算出其精确值。故不懂近似计算就不能了解曲面z在一点邻近的结构与形状。研究z在切平面的上方还是下方对于正确画出z很重要。很复杂函数M=△z-dz>0时z在切面的上方，<0时z在…。微积分断定M=d²z/2！+d³z/3！+…与首项同号，在点△x=△y=0的某充分小的（去心、去使d²z=0的点）邻域I内。

所以z(x ,y)=y²+（-10⁴x⁴）（点p（x,y）的变域是R×R使|x|>0、|y|>0都被限制只能在R⁺内取数，z的麦克劳林级数是z本身，曲面z的切平面是z=0x+0y，切点是O（0，0，0））与首项y²>0同号使

（y²-10⁴x⁴）y²>0………A

在（0，0）的某充分小的（去y=0的点）邻域I内。故满足（y²-10⁴x⁴）<0的点(x ,y)都不能∈I。将y²=x⁴>0代入A式则该式不成立说明曲线y²=x⁴即y=x²的点都不∈I！误以为其有点∈I就会搞错z的正负号而不知曲面z的点O为心的充分小子部的各除y=0的点都在xy面的上方。然而数学断定I必包含曲线y=x²>0的点，症结是中学重大错误：断定y=x²中的|x|>0与y都可遍取R的所有正数。其实由h推论1，R⁺的点x>0 都保序变为y=x²得以y为元的Z≠R⁺，因R⁺的x可与y=x×x∈Z中的x一一对应相等而不可与y本身…。故定义域是R⁺的y=x²的变域Z≠R⁺。

即使是比定量分析低一层次的定性分析也须正确了解函数的正负号，否则连曲面在一点邻近的大致轮廓也搞错了。科学实践中搞错正负号是会造成重大损失的。详论见[8]。

当k是有穷正数时比⊕高级的k²⊕²等都不∈R（R的最小正数是⊕），故当|x|小至=k⊕时y=x²不∈R，即I内各点的坐标都不可有关系y=x²∈R。故此曲线y=x²在x轴R的正投影≠R。同理，在R取数的|x|>0充分小时曲线关系y=x±x²∈R不成立（例如⊕±⊕²不∈R）而代之以直线关系y=x∈R，…。同理在（0，0）的某充分小的去心邻域内能包含过（0，0）的一切直线y=kx的相应子部，却根本不可包含曲线点y=x^k（k>1）；…。这揭示有

h推论4：光滑曲线Q的每一元素点p都是与Q切于p的切线的以p为心的相应子部。

一直铁线弯曲为抛物线，显微镜下可知原线某些部分被挤压、某些部分被拉伸了。故抛物线的“像素”点的大小是不尽相同的。

“曲线y＝x²的元素点p（0，0）”中的“（0，0）”只是表示点p的空间位置的坐标而非点本身，该点与xy面的元素点（0，0）是有重大区别的，即两点的大小有重大区别。

6.结语

中学数学的一连串重大错误没能及时发现使康脱推出康健离脱的病态理论。科学发展的道路不能是笔直的，有时误人歧途地走弯路是难免的。“著名科学家周光召指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）。线的“基本粒子”的发现说明：须重新认识分形几何、重新认识…、…；“数学，尤其是初等数学领域绝对不可有颠覆性创新”“百年数学公理与定理绝不可被推翻”是使数学停滞不前的思想牢笼、是落后的近视观点。“大（小）疑则大（小）进，不疑则不进。”是至理名言啊！高隆昌教授透露有学而思的数学学生经过对书上数轴的深入研究、思考后不禁敏锐地产生大疑：“也许人们所走的数系发展道路错了，才使得如今对无穷小结构、无理数表述、连续统认识等等才如此艰难。…，为此他经常想得头发晕，…^[9]”。敢于坚持“科学无禁区”的大无畏精神，破除迷信、解放思想，才能创造世界奇迹使数学有质的飞跃。颠覆性创新往往颠覆举世公认的权威“真理”，故常规科学不能成为检验真理的标准。

参考文献

[1]黄小宁，极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。

[2]黄小宁，中学极显然重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2010（7）。

[3]黄小宁，百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数[J]，科学咨询，2007年10月第2期：29。

[4]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267。

[5]黄小宁，再论两集不对等就更谈不上相等[J]，科学咨询·决策管理，2010（10）。

[6]黄小宁，百年集论确是"疾病"之理由[J]，科学中国人，2009（4）；

[7]黄小宁，再论任何正数集V⁺均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814。

[8]黄小宁，几何常识凸显已知数全体仅为数宇宙的一颗星球[J]，科技信息，2010（11）。

[9]高隆昌，数学及其认识[M]，北京：高等教育出版社，2001.10：135。

电联:13178840497

E-mail：[e-mail]（hxl中的l是英文字母）