二分答案

有人看到“二分答案”这个题目，可能会很不解。题目过程可以二分，答案怎么也能二分呢？

      事实上，当你看到找极大值中的最小值或者求极小值中的最大值的题目时，二分答案或许是一个不错的选择。根据数据范围判断是否选用二分（二分能把时间复杂度降到log n），再和上文所说的条件结合，一般就不会错了。

先看一个例题。

 

【描述】现在某组织中（记作R）有n个人，他们的联络网形成一棵以Saltless为根的树，有边相连代表两人可以直接联络。每个人有一个代号，Saltless代号为1，且除Saltless外每个人的父节点的代号小于他自己的代号。由于某些原因，Saltless给R的成员分别下达紧急任务，R需要分成m组行动，每个组必须满足如下条件：1、每个组员仅分在本组中2、至少有一个组员3、任意两个组员无需通过本组外的人就可以联络（但可以通过本组组员进行联络）每个人有一个能力指数，一个组的能力指数是全组人能力指数之和。对于任意一种正确的分组，平均度就是m组中最小能力指数。为了分组较为平均，Saltless希望平均度尽可能大。【格式】PROGRAM NAME: organINPUT FORMAT: 第一行为三个数：n,m,和Saltless的能力指数（1<=m<=n<=10000）。接下来n-1行，每行两个数：此人的父节点代号和他的能力指数（能力指数值为正整数，不超过30，行数就是他本身的代号） OUTPUT FORMAT: 输出格式： 一个数，表示最大的平均度。SAMPLE INPUT (organ.in) 7 2 21 41 52 12 23 44 3SAMPLE OUTPUT (organ.out) 10 【Hint】分组：{1,3,6},{2,4,5,7}

 

 

 

看到这个题，出口很明显，可能首先想到DFS。但是10000的数据DFS显然是不能承受的。这时候我们采用二分答案。

我们先记录下所有人能力指数之和tot，然后假设它的中间值mid就是我们要找的最优解。然后根据这个下限进行分组，把得到的组数num和m进行比较，如果num>m则表示分组过多，则答案在mid+1到tot的区间内；如果num<m则表示分组过少，则答案在1到mid的区间内；如果num=m则在mid+1到tot的区间内寻找更优解。当左右指针重合时，最优解也就找到了。

 

参考代码：

 

 1 program sai;
 2   var
 3     m,n,tot:longint;
 4     mid,num,l,r:longint;
 5     i:integer;
 6     p,w,t:array[0..10000]of longint;
 7   function get(x:longint):longint;  //分组
 8     var
 9       i,num:integer;
10     begin
11       num:=0;
12       t:=w;
13       for i:=n downto 1 do  //从儿子找起，以消除后效性
14         if t[i]<x then t[p[i]]:=t[p[i]]+t[i]
15           else inc(num);//如果一个组的能力指数之和达到了中间值就加一组
16       exit(num);
17     end;
18   begin
19     assign(input,'sai.in');
20     reset(input);
21     assign(output,'sai.out');
22     rewrite(output);
23     readln(n,m,tot);
24     w[1]:=tot;
25     for i:=2 to n do
26       begin
27         readln(p[i],w[i]);
28         tot:=tot+w[i];
29       end;
30     l:=1;
31     r:=tot;
32     while l<=r do
33       begin
34         mid:=(l+r)>>1;  //mid记录了临时的最优解
35         num:=get(mid);
36         if num>=m then l:=mid+1 else r:=mid-1;  //与组数进行比较，确定下一个搜索区间
37       end;
38     writeln(r);  //右指针记录的是最优解
39     close(input);
40     close(output);
41   end.