傅立叶的那些事

      巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶是法国伟大的物理学家、数学家，当然他也有一段活跃的政治生涯。在1802年，他被任命为法国某一地区的长官，也就是在这个期间，他构思了关于三角级数的想法。而这个想法，便成为了后来我们在课堂上所熟习的傅立叶分析方法。

      当然，傅立叶分析方法的形成也经过了一段漫长的历史，按照时间的演绎有下面这些比较有意义的历史事件：

      1、古代巴比伦人时代：利用“三角函数和”来描述周期性过程，预测天体运动。

      2、1748年，欧拉：如果在某一时刻，弦的振动形状是标准振动模的线性组合，那么在其后的任何时刻弦的振动形状是标准振动模的线性组合。

      3、1753年，D.Bernoulli（伯努利）：一根弦的实际运动都可以用标准振动模的线性组合来表示。

      4、1759年，J.L.Lagrange（拉格朗日）：强烈批评使用三角级数来研究振动弦运动。

      5、Jean Baptiste Joseph Fourier（傅立叶），1768年3月21日出生于法国奥克斯雷Allxerre，后来加入了这场三角级数论战。

      6、1807年，Fourier洞察：一根弦的实际运动都可以用标准振动模的线性组合来表示，推动了Fourier级数问题的深入研究。他还断言，任何周期信号都可以用这样的级数来表示。（当然，我们知道这个是错的，只有满足Dirichlet条件的周期信号才能用Fourier级数表示）。

      7、1807年，四位著名的数学家来评审Fourier基于上述观点论文，拉克劳克斯（S.F.Lacroix）、孟济（G.Monge）、拉普拉斯（P.S.Laplace）赞成发表，而拉格朗日（J.L.Lagrange）仍然顽固的坚持他与50年前提出过的关于拒绝接收三角级数的论点。由于拉格朗日的强烈反对，Fourier的论文从未公开露面过。

      为了使自己的研究成果能让法兰西研究院接受并发表，Fourier将其论文以另一种方式在“The Analytical Theory  of Heat”这本书中出版（1822年），这比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果晚了十五年。直到傅立叶的晚年，他才得到他应有的某种承认！该承认主要来自其成果在数学、科学、工程等领域内的广泛应用，如振动和热传导问题、行星运动问题、气候的周期性变化问题、交流电问题、海浪研究、通讯等，并由此产生了许多学科，如：积分理论、点集拓扑、特征函数展开等。

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      下面的内容便是来复习一下傅立叶的信号分析方法了，这里由于很懒，它们的推导过程就不打出来了，不过把最后的结论放在这里，方便复习。 

      连续时间周期信号傅立叶级数（CTFS）

      设x(t)为周期为T的连续时间信号，则其傅立叶级数展开公式为：

      离散时间周期信号傅立叶级数（DTFS or DFS）

      设x[n]为周期为N的离散时间信号，则其傅立叶级数展开公式为：

  

      连续时间信号傅立叶变换（CTFT）

      设x(t)为满足Dirichlet条件的连续时间信号，则其傅立叶变换与反变换公式为：

 

       离散时间信号傅立叶变换（DTFT or DFT）

       设x[n]为满足Dirichlet条件的离散时间信号，则其傅立叶变换与反变换公式为：

      周期信号的傅立叶变换

      对于不满足Dirichlet条件的连续时间周期信号与离散时间周期信号，将下面的傅立叶变换对公式，代入到CTFS与DTFS的变换公式中，即可求得周期信号的广义傅立叶变换。

      最后提一下FFT，即快速傅立叶变换，这个专指对离散时间信号傅立叶变换（DTFT or DFT）的快速算法，他把一个有限长（如N）的离散非周期信号看作是一个周期为N（或更多，但取样点越多计算量越大，总之要满足变换后可恢复原来的信号）的离散周期信号，然后利用离散周期信号傅立叶级数（DTFS or DFS）的性质进行快速计算。有关傅立叶分析方法的名字比较多，不要混淆……^_^