傅立叶的贡献

        傅立叶分析是信号处理中最基本的，也是最核心的内容之一。这种分析方法得名于法国数学家B. J. Fourier(1768-1830)。实际上，傅立叶分析不仅仅应用于信号处理领域。作为数学分析的一个重要分支，傅立叶分析在很多的工程领域都有非常广泛的应用。

       傅立叶是在研究热传导问题时提出了傅立叶分析的基本思想：即任何一个周期信号都可以分解为正弦和余弦信号之和，用公式表示如下：

                                          

       在傅立叶之前，人们很早就已经认识到可以用三角函数来表示复杂的周期信号。甚至在古巴比伦和古埃及时期，人们就开始用这种方法来预测天文事件。在近代科学史上，18世纪伟大的数学家欧拉(L.Euler)重新使这种方法走进人们的视野。当时他在研究声波传播问题的时候，发现可以将传播函数分解为多个正弦信号之和。同时代的伟大数学家拉格朗日(Lagrange)扩展了欧拉的思想，将其应用于天体轨道的观察和预测中。在拉格朗日那里，这种信号的三角函数分解更多的是一种插值的方法，即

                                         

通过N个天体运行的轨道位置，来确定ax，然后利用这个公式就可以预测整个的运行轨道。

       但当时的这些数学家都面临着一个问题，即在不连续的情况下，信号是否还能用这种方法分解？限于当时客观条件的限制，即便是当时最伟大的数学家，拉格朗日也认为无穷多个正弦信号之和必定是平滑的，因而不平滑的信号不能用这种方法来分解。这导致了当时几乎所有的数学家对这种方法失去了兴趣。但有一个人例外，这就是B. J. Fourier。

       虽然数学一直是傅立叶最为感兴趣的学科，但他最初接受的是军事学和神学方面的教育。在法国大革命时期，因为抨击当时罗伯斯庇尔政府的一些做法，傅立叶差点就被送上断头台。大革命结束之后，他进入著名的巴黎高等师范专科学校，师从拉格朗日和拉普拉斯学习数学。随后在巴黎综合工科学校任数学教授，开始在数学教育领域崭露头角，但此时对数学和科学还没有重大的贡献。

       在随之而来的拿破仑时期，傅立叶被迫暂时放弃了数学的梦想，他加入了拿破仑的埃及远征军，并在开罗负责过对埃及的考古工作。随着这次远征的失败，傅立叶回到法国，重新开始其在巴黎综合工科学校的教授生涯。但时间不长，因为其管理能力得到拿破仑的欣赏，傅立叶被任命为Grenoble地区的最高行政长官。在做好行政工作的同时，傅立叶却一刻也没有忘记埃及考古学，更没有忘记他所一直钟爱的数学。对前者的研究成果，使他当选为法国科学院院士和英国皇家学会会员。对后者的研究成果，使他称为法国科学院的终身秘书。

       但是在1807年，当他把自己在热传导研究中发现的关于信号的三角函数展开的方法，也即是现在所说的傅立叶级数，写成论文投寄给法国科学院巴黎学会期刊时，却被无情拒绝。负责审稿的包括他的恩师，大名鼎鼎的拉格朗日和拉普拉斯。拉格朗日给出的理由仍然是信号的不连续性。为此，傅立叶专门写了一本书来回答拉格朗日所提出的问题。但很遗憾的是，即便是一本书，也没有对不连续的问题作出严格的数学证明。时隔15年，在拉格朗日逝世之后，也即是1822年，傅立叶的这篇论文才终于在法国科学院学报上发表。正是这篇论文，奠定了傅立叶的不朽名声。而关于信号的不连续的情况，在多年之后由狄利克里(Dirichlet)等数学家给出了完整的证明。傅立叶级数成立的条件也称为狄利克里条件。

       为表彰傅立叶的贡献，科学界将这种数学分析方法称为傅立叶分析。对周期信号的分析称为傅立叶级数，对非周期信号的分析称为傅立叶变换。