hdoj 1286 (欧拉函数)

题目大意：赤裸裸的欧拉函数.

 

设φ(m)表示不超过m,而和m互质的正整数的个数，则φ(m)称为欧拉函数.

定理1:

设p为质数,则我们有

1)    φ(p) = p - 1 ;

2)    若n为正整数,则φ(pⁿ)= pⁿ(1-1/p).

证明:

1)      由于1,2,…,p-1都与p互质,所以φ(p) = p -1;

2)      当 n 是一个正整数,由于(a,pⁿ)=1  <=>  (a,p)=1,因此,不超过pⁿ而为p的倍数的的正整数个数为[pⁿ/p] =p^n-1.所以不超过pⁿ且与pⁿ互质的正整数的个数为φ(pⁿ)=pⁿ-p^n-1=pⁿ(1-1/p).

 

定理2:

若a=p₁^a1p₂^a2…p_n^an是 a 的标准分解式,则

φ(a)= a(1-1/p₁)(1-1/p₂)…(1-1/p_n).

 

证明:

因为不超过a而为p₁的倍数的正整数,共有 [a/p₁] = a / p₁个,它们分别为:

       p₁, 2p₁, 3p₁,4p₁,... ,[a/p₁]p₁

所以不超过a,而与p1互质的正整数的个数为a - a/p₁ = a(1-1/p₁) ;

 

因为不超过a而为p2的倍数的正整数,共有[a/p₂] = a / p₂个:

       p₂, 2p₂, 3p₂,4p₂,…[a/p₂]p₂

但这a/p₂个p₂的倍数中,有些已是p₁的倍数,在计算p₁的倍数时以计算过,这些数是在1,2,3,…a/p2中,与p1互质的正整数的个数,它共有(a/p₂)*(1-1/p₁)个.

于是,不超过a,而与p1,p2都互质的正整数的个数为

       a(1-1/p₁)-a/p₂(1-1/p₁)=a(1-1/p₁)(1-1/p₂).

又因为不超过a而为p₃的倍数的正整数,共有[a/p₃]=a/p₃个:

       p₃, 2p₃, 3p₃,4p₃,…[a/p₃]p₃

但这a/p₃个p₃的倍数中,有些也是p₁,p₂的倍数,所以要除去它们.

由上述的计算方法可知,不超过a且与p₁,p₂,p₃都互质的正整数的个数为:

       a(1-1/p₁)(1-1/p₂)-a/p₃(1-1/p₁)(1-1/p₂)=a(1-1/p₁)(1-1/p₂)(1-1/p₃).

 

因为n是有限数,故得不大于a而与p₁,p₂,p₃,…p_n都互质的正整数的个数共有:

       a(1-1/p₁)(1-1/p₂)…(1-1/p_n)个，

即φ(a)= a(1-1/p₁)(1-1/p₂)…(1-1/p_n).成立

 

推论:

若(a,b)=1,则φ(ab)=φ(a)φ(b).

 

#include <iostream> using namespace std; const int MAXN=32769; bool isprime[MAXN]; int prime[3600]; int f[10],t[10];int m,ans,total;void init() { int i,j; total=0; memset(isprime,true,sizeof(isprime)); for(i=2;i<=MAXN;i++) { if(isprime[i]) prime[total++]=i; for(j=0;j<total && i*prime[j]<=MAXN;j++) { isprime[i*prime[j]]=false; if(i%prime[j]==0) break; } } }void Factor(int n){ int i,tmp; for(i=0,m=0;i<total && n>1;i++){ if(isprime[n]){ f[m]=n; t[m++]=1; break; } tmp=0; if(n%prime[i]==0){ while(n%prime[i]==0){ tmp++; n/=prime[i]; } f[m]=prime[i]; t[m++]=tmp; } }}void Euler(int n){ int i; for(ans=n,i=0;i<m;i++) ans=ans/f[i]*(f[i]-1);} int main() { int T,n,i; init(); scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%d",&n); Factor(n); Euler(n); printf("%d/n",ans); } return 0; } 

 

/*附刚搜到的大牛的*/#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstdlib>#include <cstring>int eular(int n){ int ret=1,i; for (i=2;i*i<=n;i++) { if (n%i==0) { n/=i,ret*=i-1; while (n%i==0) n/=i,ret*=i; } } if (n>1) ret*=n-1; return ret;}int main(){ int n ,a ; scanf("%d",&n); while(n--) { scanf("%d",&a); int res = eular(a); printf("%d/n",res); } return 0;}