射影几何入门（连载十）- 射影几何发展史

第10章综合射影几何的历史

161.早期成果

综合射影几何的理论，如本书介绍的那样，创立至今不到200年的历史。当然，在此以前很早就已发现了其中的许多定理和原理，但是，一大堆砖瓦不能称为一座大厦，孤立的许多定理也不等于一门理论。建筑综合射影几何这一大厦的砖瓦是由 Euclid 以来的无数学者所贡献。例如，四调和点的概念古代人已经熟悉了，他们从度量观点出发，把它看作使线段内分与外分相等的一个比例[1]。由一截线对一完全四边形各边截取的对合六点问题曾由Pappus详细研究过[2]。但这些孤立的概念未被用作一般理论的基础。它们独立起来，不过是一些小的结论。正是它们与其他大量定理的联系才显示出了它们的重要性。古代人无疑也知道两条直线确定一个点，两个点确定一条直线的基本事实，但他们没有能看出其中的美妙的对偶性。对于对偶定理来说，这些点和线的关系只是一个简单的例子。圆锥曲线是圆锥面的截线，利用投影原则，圆锥曲线的许多性质可以从作为它的基底的圆的对应性质推导出来——这对现代数学家是很自然的原则，希腊人似乎并不知道。椭圆、双曲线和抛物线对他们来说是完全不相同的曲线，必须采用适合于它们各自的不同方法分别进行讨论。因而，发现了椭圆的焦点之后大约五百年才发现抛物线焦点；直到1522年，德国纽伦堡的几何学家Verner[3]才懂得利用圆的性质来证明圆锥曲线的性质。

162.统一性原理

十七世纪是历史上的一个美妙世纪，在它早期诞生了诸如伽利略（Galileo）、开普勒（Kepler）、布拉赫（Brahe）、笛卡玆（Descartes）、德萨格（Desargues）、帕斯卡（Pascal）、卡瓦列利（Cavalieri）、沃利斯（Wallis）、费尔马（Fermat）、惠更斯（Huygens）、巴康（Bacon）、纳皮尔（Napier）等一大批的数学明星，还有无数发光较少的小星，更不用说伦布兰特（Rembrandt）或莎士比亚（Shakespeare）了。他们开始对从古人堆里挖掘出来的大量材料提出各种所谓的统一性原理（Unifying principles）。如1604年伟大天文学家Kepler[4]提出把平行直线看成在无穷远处相交的概念，并由此使抛物线成为椭圆和双曲线的极限情形。他还提出抛物线也有焦点，即所谓“盲焦”（caecus focus），一个位于轴的无穷远处的焦点。

163. Desargues

1639年，法国数学家Desargues[5]发布了一篇有关二阶曲线的小论文，其中出现了我们在它基础上建立了四调和点理论的那个定理(§25)。但Desargues没有用他的定理为这一目的服务。他把四调和点看作对合六点中有两个2-重点的特例。他的对合理论的论证过程也与我们采用的纯几何方法不同，它的理论基础是§142的度量定理，即二共轭点离中心的距离的乘积为常量的那个定理。他在证明点的对合投影性质时，同样利用了“当六线通过对合六点时，所有与它们相截的直线也一定截出互为对合的六个点”这一性质。

Desargues是射影几何的创立者，是利昂的一位建筑师。因对几何的兴趣以及职业的需要创立了这门学科。在工作中不断地从事创造发明，包括如何切割石块用于建筑，如何设计和制作螺旋式楼梯等。

164.极点与极线

在Desargues的这篇短文[5]中也包含极点和极线的理论，但极线被称作traversal（横穿线）。他也指出了极点与极线的调和性质，但当平面引入无穷远元素后，Desargues似乎没有得到对应的度量属性。因而他说，“当traversal在无穷远时，就全部难以想象了”。至于极点（pole）这一术语，则由法国数学家Servois于1810年首先使用，对应术语极线（polar）则由当时担任Servois论文的刊物编辑Gergonne创立[6]。

165.通过4点的二阶曲线的Desargues定理

在这本小书中，我们发现了有关二阶曲线内接四边形的漂亮定理。这个用他的名字命名的定理我们已在§138中作过介绍。但他当时的定理没有用通过四点的圆锥曲线系来表达，因为Desargues当时根本就没有此类系统的任何构想。他所陈述的定理的原始表达形式为：

已知一个四边形内接于圆锥截线，则每一条与圆锥曲线以及四边形四边相截的traversal截出的六个点为对合六点。

166.推广到空间的极点与极线理论

作为他的概念的有力推广的一个例证，我们考察适合于空间球面和其他二阶曲面的极点和极面概念。本书前面没有介绍这些内容，但这些概念不难理解：如果我们通过空间任意点P作一直线与球面交于A, B二点，然后可作出P关于A和B的第四调和点。对于通过P的各种不同直线，这第四调和点的轨迹，就叫P关于球面的极面（polarplane）。利用这一定义我们很容易找到点和平面在空间中的对偶关系，犹如平面中点和直线之间的对偶关系一样。Desargues用下面这样的结论来结束他对这个问题的讨论：“利用圆的属性来获得圆锥曲线属性的方法，类似地可用来从球面的属性寻找一些立体的属性”。但不应该从这一结论来推断他已经熟悉了各种不同的二阶曲面。古代人很熟悉由一个椭圆或一条抛物线绕一固定轴旋转所生成的曲面，甚至也知道通过双曲线绕长轴旋转得到的双页双曲面，但很可能不知道单页双曲面是由双曲线绕另一轴线旋转的结果。实际上，直到Euler发现[7]前，有关二阶空间结构估计从未有人全部都知道。

167.描述圆锥曲线的Desargues方法

Desargues并没有把二阶曲线看成两个射影相关线束对应射线的交点轨迹的构想。他似乎曾经设法通过一副圆规来描述作为二阶曲线的椭圆，即沿一条直线移动圆规的一只脚（不像通常使用圆规那样，把一只脚固定在圆心不动），然后用另一脚就可以作出椭圆。但他并没有详细讲清圆规的两只脚需要怎样协调配合才能获得二阶曲线的椭圆。

168. Desargues工作的被接纳

说来也怪，Desargues的不朽著作竟招来最猛烈的辱骂和嘲笑，“难以置信的错误！”，“完全虚构和造假！”，“任何真正熟悉科学的人都不能实际接受他的思想，真可笑！”，这就是许多读者和评论家的评论，而且他们中间也并非全都是一无所知和没有教化的人。无论Desargues的学生如何热心支持，也不管受到诸如Descartes，Fermat，Mersenne，和Roberval等著名人物的倾慕和声援，他的小册子在出版二个世纪之后终于完全消失。当法国几何学家Chasles在写他的几何学历史时，也未曾发现有对Desargues所作工作的任何评价。直到六年后的1845年，Chasles才找到由Desargues的学生De la Hire所写的题为“Brouillon-projet”的一个手稿复制件。

169. Desargues时代的保守性

不应把Desargues作品两个世纪的消失全部都归罪于他的评论家野蛮攻击，他们的这些做法是符合时尚的，没有人能逃脱因对古人方法的试图修改而招来的挖苦打击。历史上已经有过这样的日子：当伽利略拒绝相信一个重物下落比一轻物要快时就是这样，既使人们在比萨斜塔下亲眼看到他为大家作的下落结果试验也没有用。因为，亚里斯多德著作第几页第几行中已经明明白白地宣称重物下落一定比轻的快!当Ingolstadt的数学-天文学家Christoph Scheiner用望远镜看到了太阳的神秘黑子时，一个卑鄙的伪君子这样写信给他：“Aristotle的书我从头到尾看过好几遍”，“我可以向你保证，我在书上任何地方都没有找到类似于您所描述的东西。”，“滚吧，小子，闭你的嘴，您在太阳上找到的黑点是您望远镜玻璃上的污点，或者您自己眼珠上的污点”。亚里斯多德的黑手阻挡住了每一门科学的发展。医生们竟对Harvey的血液循环的发现无动于衷；当Pascal在圆顶山（Puy de dome）上开始实验证明玻璃管内水银柱高度随大气压力改变而改变时，一个教士出来惊呼：“上帝岂能容忍真空！”。

170. Desargues的写作风格

但话说回来，这时的巴黎比起当年的意大利来已经较少计较权威了。罗马法庭逼迫伽利略放弃内心深处信念的那种残酷审讯在当时法国已不可能重演。更何况，在Desargues作为一名成员的那个科学家小圈子里最大的思想自由已得到维护。Desargues著作的消失的一个非常充足的理由看来和他的写作风格有关。他没有留意热烈钦佩着他的同辈Descartes写给他的一封信[8]中提出的良好建议：“您可以采用非常好、也非常值得赞赏的两种不同的写作方法：一种是为学者写的，这时你只要向他们讲清他们还不知道的二阶曲线的那些新特性就行了；另一种是为好奇但无专业知识的读者写的，这时您就应该把至今尚只有很少人知道、但对透视学，对绘画、建筑学等恰是非常有用的素材统统写进你的书中，而且要写成使所有想学有关知识的读者都感到浅显易懂。如果您有第一个想法，我认为需要避免使用新术语，因为行内学者已经习惯Apollonius的用语，即使你创立了更好的术语，也不会让他们欣然地改变习惯，你的自创术语只会导致你的证明更加难于看懂，从而逼使他们放弃阅读您的书转去阅读其他的书。如果您有第二种打算，那么您用的语言肯定是您的母语—法语，这时您就可以利用它的优雅和灵活性来进行构思，使那些从未接受古人用语的读者能更好地接受….但是，如果您有这样的意图，您就必须将它成为一部巨著。如果您不能完整并充分清晰地交代一切，就不可能让那些绅士们学习时不打呵欠；那些不肯使用想象力去苦心思索几何命题、又不愿翻弄书页寻找插图注释的读者，看您的书就会比看妖魔故事中的迷宫描述更难于理解”。

当我们发现Desargues的小册子中使用了大约七十个新术语，且只有一个involution（对合）能保留到现在，Descartes的看法就会觉得不无道理了。说来也够奇怪，这个保留下来的术语竟是书评家De Beaugrand.[9]挑选出来进行尖锐批评和嘲笑的一个术语。Descartes是了解Beaugrand的心情的，他知道Beaugrand曾用极大耐心阅读了该书的前十页。

171. Desargues工作缺乏欣赏

Desargues的方法完全不同于Descartes和Fermat创立的解析方法，很少被人理解。“在您和我之间”，Descartes写信给其朋友Mersenne [10]时说，“我几乎无法说清楚他（指Desargues）所写的有关圆锥曲线的任何想法”。但值得Desargues自豪的是，他没有亏欠任何人，他的所有成果全都来自他自己的脑袋。尽管连他自己喜爱的学生de La Hire也没能体会他的工作的非凡朴素性和普遍性价值，但最终还是有一位同事、一个当年还只是十六岁的小伙子－ Pascal，能够理解并能评价他的方法!这是一桩难以想象的事实。

172. Pascal与他的定理

我们不一定全部相信深受Pascal钦佩的姐姐如何把神奇的早熟归功于他的各种奇妙故事。但我们确实看到了这样的事实：1640年，当他还只有十六岁时，出了一张题为“Essay pour les conique”（圆锥曲线短评）的小招贴或海报，其中第一次公布了他的著名定理[11]。他的定理的表达方式对于只见过本书给出的形式的读者来说也许会感到困惑。读者如能对两种不同的陈述方法进行一番比较是值得的。现把他的定理的原始形式陈述如下：

“在MSQ三点决定的平面上，通过M作两条直线MK和MV，通过S作两条直线SK和SV，并设K是MK和SK的交点，V是 MV和SV的交点，A是MA和SA的交点 (A是SV和MK的交点)，µ是MV和SK的交点；如果通过A,K,µ,V四点中的两点，它们不在与M和S同一条直线上，例如K和V，我们通过一个圆的圆周切割直线MV,MP,SV,SK于四点O,P,Q,N；那么MS,NO,PQ三条直线为同阶直线（lines of the same order） ”[译注]。

这里的“同阶直线”Pascal是指相交于同一点的直线或者是相互平行的直线。把这样画出的图形投影到另一个平面，他就能把定理陈述中的圆替换为任意二阶曲线了。

[译注]以上是Pascal“Essay pour les conique”的部分手稿（一个引理）的英译，不是定理证明全文。光盘中有定理详细证明原文的扫描图片，但分辨率太低，无法清晰打印。

173. Pascal的短评

我们只能理解，Pascal的“短评”应是一部有关二阶曲线的巨著的一个概述。但是，或许是因Pascal的英年早逝，或许是因当时出版科学著作的困难，也或许是因为他后来对宗教事务的病态似的兴趣，这一大部巨著后来始终未曾出来。Leibniz[12]曾审查过他的完整著作的一份拷贝，并报道，神秘的六角形著名定理是他的整个理论的基础，且Pascal已从它导出了大约四百个推论。这表明这里确实有一位天才能把射影几何中相互没有联系的许多材料塑造成为我们今天看到的如此对称的一座大厦。但Pascal的早逝妨碍了他对手头课题的更进一步的探索，这对科学来说无疑是一个极大的不幸。

174. Pascal的独创性

在“短评”中，Pascal给予了Desargues完全的荣誉。在论及Desargues给出的一个命题时，他说，“我们也证明了这一特性，原始的发现者是当代最伟大的思想家－利昂的M. Desargues，...，在此我要感谢他，我的发现有一部分要归功于他”。这一致谢使Descartes相信Pascal定理也有Desargues的功劳。但在科学家俱乐部中，年轻的Pascal是由其父亲—一位当时具有同样建树的科学家，所照料的，因此，这个定理后来被命名为"La Pascalia"，至于Descartes的评论似乎也没有被人们太当一回事，因为大家都知道，他对其他科学家的著作比起他自己的来，常常缺乏应有的信任。

175. De La Hire和他的工作

De La Hire对本学科发展所做的工作不多，但他把Desargues所完成的作品大量地复制出版。我们或许无法完全弄清楚其中有多少是他自己的，有多少则是他的老师的。1679年他曾写道[13]：“我第一次读了M. Desargues的小册子，为了今后对它有更加完全的了解，我把论文做了一份拷贝”。正是这一份拷贝拯救了他的大师的工作没有被人们忘却。除了这些以外，de La Hire也应得到荣誉，他发明了一种能在同一平面上将一图形变换成与其同阶的另一图形的方法。他的方法极为有趣，它的正确性的证明留给同学作为综合射影几何的一个习题。它的方法如下（见图175-1）： 

图175-1 De La Hire的巧妙作图法

可以看出，当M描绘出一个点列时，M’也描绘出一个与其射影相关的点列；当M描出一个圆锥曲线时，M’也描出一个与其射影相关的圆锥曲线。这种类型的对应称为M’与M共线（collineation）。容易看出，直线b上的点将变换成它们自己，同样，点P.也变换到P本身，而直线a上的点将变到无穷远直线上的点。同学们应去掉构筑法中的度量特性，用两条能够在有穷平面上相交的不平行直线来代替两条平行直线a和b。共线就是一条直线上的点不变，还有更一般的情况是一个三角形不变，前者是后者的一个特例。

176. Descartes和他的影响

　　大哲学家Descartes在综合射影几何的历史上除了使用间接方法之外没有做过工作。他发明的代数分析方法，以及由此发展而成的微分和积分学，在Desargues之后的几乎两个世纪中吸引了整个数学世界的兴趣，这导致十七个世纪后期以及18世纪的大部分时间里综合射影几何缺乏人们的注意。至于微积分的发明过程以及第一功归谁的问题，对于现代人来说，已很难弄清其中的复杂性，这牵涉到自古以来困扰最敏锐的头脑的极大多数问题的解决方法的所有权，这种方法能迅速演绎出Archimedes长期苦心专研并期待获得的，或由Galileo用实验得到的那些结果。这是自Descartes后一个半世纪让数学家们感觉愉快的经历。人们从此转到分析中去积极寻找新的定理，而轻视古人的那种方法就不足为奇。Lagrange在他1788年出版的“Mechanique Analytique”（分析机理）的序言中 曾吹嘘说：“我们在书中将找不到一个插图”。但到18世纪结束时，因受微积分的发明而开辟的领域已研究得很彻底，人们开始注意探索新的方法和寻找新的研究对象。Lagrange本人，在他的最后岁月，也已对分析和力学开始感到厌倦，并致力于研究化学、物理和哲学推理。“这种心境”，Darboux说[14]，“在伟大学者的一生中，我们几乎总能在某些时刻看到”。因受微积分的影响，纯几何领域差不多保持了两个世纪的清闲。但此后，又开始招来几乎是充满宗教热情的攻击。

177. Newton和Maclaurin

　　在催促纯几何进入Poncelet和Steiner的时代上，我们不能不提及Newton和Maclaurin工作。他们的结果虽然大部分由分析法得到，但他们给出的一些定理实际应归属于综合射影几何领域。例如，Newton用“有机法”（Oganic method）生成二阶曲线[15]就和我们第三章中利用的方法密切相关的。其方法如下：

两个已知大小的角度AOS和AO’S分别绕他们的各自的顶点O与O’转动，如果这时一对转动直线的交点S总是位于一直线上，则另一对转动直线的交点A将描绘出一条二阶曲线。

此结果的证明也留给学生。

178. Maclaurin的证法

　    生成二阶曲线另一个方法归功于另一位英国数学家Maclaurin[16]，他的构筑方法如下：

三角形C’PQ的三条边PQ，QC’和C’P分别绕三个固定点R，A，B转动，而它的两个顶点P、Q分别沿二条直线CB’和CA’移动，则剩下的顶点将描绘出一个二阶曲线。

　　这一方法的证明也留给读者自己去完成。

179.画法几何与综合几何的二次复兴

　　纯几何的第二次复兴同样发生在一个智力极其活跃的伟大时代。18世纪末到19世纪初的一段时期间，镶嵌着一张光辉的强人名单，其中有高斯（Gauss）、拉格朗日（Lagrange）、勒让德（Legendre）、拉泼拉斯（Laplace）、蒙日（Monge）、卡尔诺特（Carnot）、庞斯莱（Poncelet）、哥西（Cauchy）、傅里叶（Fourier）、斯坦纳（Steiner）、冯．斯道特(Von Staudt) 、穆比乌斯 (Mobius)，阿贝尔（Abel）以及其他许多人。这一次的复兴可以从Monge[17]发明画法几何理论开始说起。画法几何就是在二维空间中表示三维空间的图形。常用的方法就是把空间图形投影到两个平面（最方便的用一个垂直面和一个水平面）。为了度量目的，从垂直于各投影平面的无穷远方向进行投影是最简单的。让水平面绕两个面的共同轴线向垂直面旋转，就可使这两个平面重合。这就是Monge通过双手绘制的美妙而高雅的画法几何图。Monge当初还只是Mezieres军校的制图员和学员，他利用这种手段使军校的一个防卫工程的进度大大加快，当军校校长亲眼看到其结果时甚至不敢相信是他的作品。Monge后来成了Mezieres军校的一名数学教授，在他的周围集结了被指定来共同推进纯净几何发展的一群学生。其中包括哈塞特（Hachette）、布里昂匈（Brianchon）、杜宾（Dupin）、查斯莱斯（Chasles）、庞色莱（Poncelet）以及许多其他人。

180.对偶性，同调性，连续性，偶然性联系

解析几何在寻找新概念、新题材的道路上几乎没有留下可做的事情了，而数学世界已准备好了要建造一座新的大厦。跟随Monge的一群学生的积极活动就是直指这一目标的。我们这时已开始能听到诸如对偶性（duality）、同调性(homology)、连续性(continuity)、偶然性联系(contingent relations)之类的观念的巨大统一。纯净几何的献身者们开始认识到他们的学科需要有一个普遍适用的但也是严格的类似数学分析那样的基础。他们的梦想就是建立一个与分析没有关系的几何系统。为此，Monge，以及随后的Poncelet，在所谓的“连续性原理”上动足了脑筋。此后，Chasles又用“偶然性联系原理”的名称对问题进行了论述。为了得到有关后一原理的一个清晰概念，我们考虑一个在证明时使用了某些辅助元素的几何定理。这些辅助元素没有在定理的陈述中出现，并且，不作辅助元素定理照样有可能获得证明，在定理的证明图中某些元素也可能没有画出来。这样，从主张严格分析的人员的眼光来看，它们是“不可想象的”。但根据偶然性联系原则，我们可以说，这“没有问题”，并且，“无论证明中是否存在真实的或虚构的辅助元素，定理都真实，证明都合法。”

 

181. Poncelet和Cauchy

Poncelet的努力使人们接受了这个与分析法完全不相干的原则，但也导致了与主张分析法的著名数学家Cauchy之间的苦涩的而又没有结果的争论。在回顾Poncelet有关图的射影性质的重大成就时，Cauchy说[18]：“在他的基础论文中，作者再次坚持必须在几何中承认他所谓的连续性原则（Principle of continuity）。我们已经讨论了那个原则…，但我们发现，那个原则，就本身而言，只是一种强归纳（strong induction），它不可能不加区别地应用于几何的所有问题，甚至也不可能用在分析中。我们给出的作为我们看法的基点，没有受到作者在其文章《Traite des Proprietes Projectives des Figures》（论图形的射影性质）中所考虑的问题的影响”。

 

 

这项原则现在虽然经常被用在纯几何的各种研究中，一些谨慎的几何学家在这一问题上和Cauchy的意见一致，仅将它作为一个方便的探险工具来使用。在几何形式和代数分析之间的1-1对应受到许多重要例外支配。分析领域比几何领域更有普遍性，对于几何中每个概念，在分析中总能找到一个对应的清晰概念，但反之不行。例如，在分析中，我们可以像处理三个坐标变量那样来处理四个坐标变量，但在几何中四维空间的存在无法从三维空间的存在推导出来。当几何学家说，直线与二阶曲线有两个虚或实的交点时，他真正讲的语言是代数语言。离开代数的介入，我们就无法区别一条直线与一圆锥曲线相交的二点的虚实差别!

 

182. Poncelet的工作

但是，Poncelet作为“现代几何学之父”的头衔的确立与他是否主张“偶然联系原则”并无关系。即使他认为这项原则对于他的所有发现都最重要也不要紧，他的声誉建立在更为坚固的基础上。他实际上是同调图形（figures in homology）的首位研究者。他所构造的同调图就是§175中描述的共线（collineation）图，其中对应的点位于通过一个固定点的射线上。他通过极点和极线的理论来给出这一概念，利用它，一种几何元素可以转换成另一种不同类型的元素。点与点间的变换有时将生成一个定理，但Poncelet发明的变换所生成的定理是一个具有完全不同样式的定理。对偶原理首先由数学学报编辑Gergonne [19] 用明确的方式表达，他就是根据Poncelet在该学报中发表的有关极点和极线理论的文章作出的。他也以明确的方式表达了把空间无穷远元素作为平面上所有无穷远元素－无穷远直线－所在平面的概念。

183.解析几何妥欠综合几何的债

　　纯净几何对解析几何的反作用可以在曲线的类（class of a curve）的概念的发展上明显看到。曲线的类就是在平面上从一个点到该曲线可作的切线数目。如果一个点沿一圆锥曲线移动，容易证明（推荐给同学去完成）相关于该圆锥曲线的极线将始终与另一个圆锥曲线相切。这一事实也可用如下的命题来表达：二阶圆锥曲线一定也是二类圆锥曲线。我们也许会推想，如果一个点沿一三次曲线移动，它的关于圆锥曲线的极线将仍然是另一三次曲线的切线。但这不是实际情况，Poncelet等人有关曲线的类的研究后来由Plücker完成。几何变换概念也导致不变量（invariants）理论非常重大的发展。不变量，用几何语言来说，就是不受变换影响的元素和图形。四点之间的非调和比（anharmonic ratio）就是这种类型的不变量，因为经过射影后它的值不变。

184. Steiner和他的工作

在Poncelet和他同时代的Chasles、Brianchon、Hachette、Dupin、Gergonne等人的著作中，非调和比是一个重要的角色。它也是Steiner的不朽工作的基础[20]。Steiner是第一个不把圆锥曲线看作圆的投影的人，他把它们看作两个射影相关线束对应射线的交点的轨迹。Steiner不但把点列、线束和所有其他基本形用1-1对应的方式互相联系起来，他也在高阶曲线、曲面之间设置了对应关系。这种新的丰富的构想为他研究纯几何中更为抽象和艰难的领域给出了一条简单和直接的道路。他所完成的许多工作都是在没有得到任何前人方法的提示的情况作出的，而且，他的许多结果只有到最近才能被核实。

185. Von Staudt和他的工作

　　为了将几何理论写成像我们今天见到的那种体系，剩下的工作只是设法将它从半度量性的基础上解放出来。这一工作是由Von.Staudt[21]完成。他强迫自己完全不用分析的或度量的方法改写了整个几何理论。我们在第二章见到的处理四调和点概念的方式就是他想出来的。他的工作以显著的普遍适用性为特点，他的方法能轻易地适用于实的和虚的两种不同情况。例如，他在平面的点和线之间设置了1-1对应关系，把二阶曲线定义为两个射影线束对应射线交点的轨迹，定义二阶射线束为通过它们对应点的直线系统。点列和二阶射线束可以实的或虚的，但他的定理都能适用。这类对应的一个例子，其中二阶曲线是虚的，可参见第一章的§15。在定义一条直线的共轭虚点时，Von.Staudt使用了一个无重合点的对合。他的方法虽然卓越和有力，但很难在一本初等教程中采用。为此Reye[22]和其他一些人为了简化他的表达方式作了许多工作。

186.近期的发展

企图在这里追述射影几何的后期发展路程只能使初级学生们更加糊涂。因其中大部分涉及我们还不了解的高阶（大于二阶）的曲线和曲面问题。纯粹的综合方法曾显著地成功用于平面直线的研究。但分析法和纯几何法之间的争斗始终都在进行着。它们各自具备不同的优点，以前一直利用一种方式耕耘的数学家转入广阔的另一个领域后永远无法得到他想得到的结果，即使两种方法在他手头都是现成的。纯净几何应该信任数学中的某些精细发现，但用不着为自己的诞生而向他致谢。它的丰富应用价值并没有随数学公式的采用和简易分析方法的发明而过时。当我们确信任何几何命题总可以用某种解析形式表达后，并不意味所得的解析命题就很简单、很容易理解。对于许多数学家来说，几何的直觉能力往往较弱，因此，这种方法很少会吸引他们。另一方面，总有这样的一些人，对他们来说，纯几何命题有独特的魔力，他们会心情愉快地追随这类高维形式的几何问题，并期望从中得到好奇的而又是意想不到的结果。对于分析学家，追寻他所不了解的各种领域之间的奇妙联系，无疑也有相应的乐趣。由于一个领域和自己无关，从而就闭起眼来不去看一看这一领域的亮丽景色，是很荒谬的。“那么，让我们来培育几何学吧，”Daboux[23]说，“不期望在一切方面都和它的对手对等。但如果我们鼓吹忽视它，那么它在寻找数学应用中的作用就会很快消失；而当它再次准备出来工作时，重新恢复其生命力并发展它自身的方法就会获得新生。这有点像神话故事中的大地之子Giant Antaus，当你触摸一下大地，就能使他重新产生力量。”