射影几何入门（连载一）- 1-1对应.

来源：互联网发布：zookeeper 集群端口编辑：程序博客网时间：2024/04/29 19:50

第1章　1-1对应

1. 1-1对应的定义

［定义］给定任意两个集合，如果在这两个集合之间能够建立这样的一个对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都能对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为1-1对应（One-to-One Correspondence）的集合，有时说得清楚一点，是两个能够建立1-1对应的集合。

注意，1-1对应定义的是有关两个集合之间的一种关系，而不是它们元素之间的关系，但要确定两个集合为1-1对应，需要在它们的元素之间建立一个具体的对应。

［例］试问由三个数字组成的集合｛1,2,3｝和由三个字母组成的集合｛A,B,C｝是否1-1对应？

［答］我们在这两个集合的元素之间建立下面这样的对应：

1 与 A对应， 2与 B对应， 3与 C对应

这样，每一个集合中的每一个元素，都对应到了另一集合中的一个且仅一个元素。所以，集合｛1,2,3｝与集合｛A,B,C｝为相互1-1对应。

显然，如果是两个数字的集合｛1,2｝，或四个数字的集合｛1,2,3,4｝，都不能与三个字母的集合｛A,B,C｝1-1对应了。

集合的1-1对应概念非常简单、非常基本，它在科研和生产领域中，或在日常生活中都普遍使用。例如，我们通常进行的计数过程就是将被计数对象与数字‘１’、‘２’、‘３’…之间在心中建立1-1对应；当人类还没有发明数字、尚未进入文明之前，也已会利用他们的手指与被计数对象（如每天的掠物）建立1-1对应。科学家们的神圣工作是对自然界各种事物进行命名与分类，本质上就是将这些事物及其属性与适当的单字（word）建立1-1对应。自然，这种过程不像计数那样直接，需要有反复过程。先是对事物及其属性进行记录，然后对记录的资料进行研究整理，从中发现事物间的种种关系，再将这些关系与另一些新的单字建立1-1对应，等。所有这些单字开始只是该领域少数人使用的专业术语，当科学普及之后，这些专业术语就演变成人们的日常用语。如果你仔细分析语言的各种成分，你将发现，人类语言的全部概念实际都是利用1-1对应的想法(Ideal)生成的。

2. 1-1对应的性质和意义

由1-1对应的定义可看出，1-1对应的两个集合是对称的，即双方处于完全平等的地位。我们可以根据两个集合所建立的元素对应方式从前一集合的元素找到后一个集合中的元素，也可以反过来从后一集合的元素找到前一个集合中的对应元素。

由1-1对应定义也容易看出，1-1对应关系是自反的，也就是说，任何集合都与自己相互1-1对应。

此外，如果集合A与集合B为1-1对应，集合B与集合C也1-1对应，则集合A与集合C也相互1-1对应.。也就是说，1-1对应关系有传递性。

另外，1-1对应规定的仅仅是元素的对应方式是１对１，不允许１个元素对应到多个元素，也不允许它不与任何元素对应。但除此以外不再附加任何其他条件。

我们不要求一个集合中的某个元素必须与另一集合中的某个固定元素进行对应。只要满足1-1性，无论什么元素都可以与它对应。如前一节的例子中三个数字的集合｛1,2,3｝与三个字母的集合｛A,B,C｝之间，下列６种元素对应方式都是可行的1-1对应：

1 ↔ A，2 ↔ B，3 ↔ C

1 ↔ A，2 ↔ C，3 ↔ B

1 ↔ B，2 ↔ A，3 ↔ C

1 ↔ B，2 ↔ C，3 ↔ A

1 ↔ C，2 ↔ A，3 ↔ B

1 ↔ C，2 ↔ B，3 ↔ A

可以看出，A,B,C三元素的任何一种全排列，从ABC到CBA，共6=3！个，都可与123对应。因此，如果两个集合都有n个元素，就有n！种不同的方式实现1-1对应。

其次，我们不要求一个集合中的元素是什么类型，另一集合中的元素也必须是同一种类型。例如，上面给出的例子就是数字与字母两种不同类型元素。一个牧童用绳子把５头羊分别牵在５棵树上，就让动物的羊和植物的树建立1-1对应；学生上课时，50名学生走进一间有50个座位的教室，找到空位就坐下，就是在班级学生和教室座位之间自动建立一个1-1对应；学校根据学生的学习成绩，把50名学生与代表名次的五十个数1,2,…,50建立1-1对应；在电脑程序中创建一个表就是为表的地址与其中包含的内容建立1-1对应；物理学家经常把各种客观事物的变化规律与他们主观想象出来的公式混为一谈，就是在客观规律和很可能是错误的公式之间建立1-1对应。

另一方面，人们通常按“物以类聚”原则，以同类元素组建集合。不会把毫不相干的事物放在一起组成一个集合，例如，不会把｛风,马,牛｝作为一个集合；不会把对象与它们的名字放在一起，如｛1, 2, 3, ‘1’, ’2’, ’3’｝组成一个集合；不会把集合元素与集合本身放在一起，如｛1,2,3,｛1,2,3｝｝，组成一个集合。但这些问题有点复杂，有时人们会无意或有意地讨论类似的集合，特别是在数学基础或计算机科学的研究中，从而引起各种各样的问题。好在本书今后考察的都是由单纯几何元素的集合，如点的集合、直线的集合，平面的集合，不会遇到上述问题。

3. 1-1对应在数学中的应用

在数学中，人们努力从事的工作，常常就是在简单概念和复杂概念之间建立1-1对应，或在已探索过的领域和正在探索中的未知领域寻找1-1对应。例如，利用平面几何中点和直线的性质或关系，到空间几何中去寻找点、线、面对应的性质和关系；利用中心、焦点、切线、渐近线等点和直线的性质来研究二次曲线的性质。解析几何是利用简单的代数方法来研究几何，而进入大学的高等代数中又反过来利用低维的几何直观来研究任意维的线性空间。在学习射影几何时，我们也要利用数学其他分支的一些简单知识。

4.　无穷集之间的1-1对应

两个集合，如果它们相互1-1对应，我们通常就称这两个集合包含了相同数目的元素；如果一个集合的一部分与另一个集合1-1对应，那么前一集合的元素数目比后一集合的元素数目为大。但这些结论仅适用于有限集，如为无穷集，结论就无效。下面我们来考察几个典型的例子。

［例1］2,4,6,8…等偶数仅仅是自然数的一半，但偶数集｛2,4,6,8…｝与自然数集合｛1,2,3,4,5,…｝为1-1对应的两个集合。

［证］我们为这两个集合的元素之间建立下面这样的对应：

自然数：1，2，3，4，…

偶　数：2，4，6，8，…

那么，每个偶数2n都能找到一个自然数n与其对应，而且反之，每个自然数n也都能找到一个偶数2n与其对应，尽管偶数只有自然数的一半，是自然数的一个真子集。

［例2］直线上的正整数格点全体，也即自然数n全体：

N = {1, 2, 3, 4, 5,…}

与平面上的正整数格点全体，也即自然数二元组(i, j)全体：

N² ={(1,1),(1,2),(1,3),…,(2,1),(2,2),(2,3),…,(3,1),(3,2),(3,3),…}

为1-1对应的集合。

［证］下面所列的表是对平面上正整数格点（i,j）的一种有规律的排列：

我们规定，在左上角第1行第1列，放置1，然后，将2,3,4,5.... 用对角线方式来排列，并根据 i+j 的奇偶来确定它们前进的方向：当i+j=奇数时（如i+j=3，即1行2列和2行1列两个位置），数从右上到左下排列，当i+j=偶数时（如i+j=4，即第3行第1列，第2行第2列，第1行第3列三个位置），数从左下到右上排列。可以看出，按这种对角线次序的排列方法，任意格点（i,j）都会有一个对应的自然数ｎ，而且反过来，任何自然数n都会在以上阵列中找到一个对应的（I,j）格点。所以，利用这种方法，平面上的正整数格点（i,j）与放置的自然数ｎ建立了1-1对应。

但要注意，这种对应有一特点，平面上距离很近的点对应到线性距离可能很远，如(2,2)和 (3,3)两点的位置很近，是对角线上相邻的两个位置，但对应的数为5和13，并不相邻，是2个不相邻的自然数。读者不妨思考一下，与格点（10,10）（11,11）对应的直线格点分别是多少？如有编程兴趣的读者，不妨在计算机上编个程序，来实现任意自然数ｎ与数对（i, j）之间的相互转换，无论用Ｃ用Delphi或者别的语言都行。

［例3］１英寸是2英寸的一半，但下面能证明，1英寸线段上所有点与2英寸线段上所有点为1-1对应．

［证］如图4-1所示。其中AB和A’B’分别是有2英寸和1英寸长的两条线段，C是AB上的任意一点。为寻找A’B’上与C对应的点，我们连AA’和BB’，并延长交于S。再作S与C的连线交A’B’于C’，则C’就是A’B’上与C对应的点。反之，对A’B’上任意C’，同样可找出AB上的对应点C。

图4-1 １英寸与2英寸长线段点的对应　

［例4］对于无穷长直线AB上的任意一点，都能在1英寸长的线段A’B’上找到两个点与它对应。

［证］我们作一个半径为2π分之一英寸的圆，则其周长为1英寸，也就是线段A’B’的长。因此，你可以把这个圆看成就是由线段A’B’围成的圆，如图4-2所示。［注意，为了使图中所标写的字清晰，我们把圆画大了一些，但圆的大小，不影响下面的证明。］

现设此圆的圆心为S。我们从直线AB上的任意点C作直线与S相连，此直线与圆的下半段圆弧交于C’，与上半段圆弧交于C’’。则C’与C’’就是与C对应的两点，由此得证。

图4-2 １英寸圆周与无穷长直线点的对应

反过来，对于圆上任意两个对称点C’与C’’是否也能在直线AB上找到对应的一点呢？显然，这里有一个例外，就是当C’与C’’的连线C’C’’平行于AB时，在AB上就找不到对应点了，因为这时的连线C’C’’与AB不相交。

此例说明了一个看来很不可思议的事情：1英寸线段A’B’上的点比无穷长直线AB上的点的两倍还要多出两个点。

［例5］无穷直线上的点的集合与无穷平面上点的集合为1-1对应。

［证］我们需要利用以下三个结论：

１）无穷直线上的点与单位线段（0,1）中点为1-1对应；　

２）单位线段（0,1）中点与单位平面（0,1）×（0,1）中点为1-1对应；

３）单位平面（0,1）×（0,1）中点与无穷平面上的点为1-1

证明上述三点后，那么，根据1-1对应关系的传递性，就证明了无穷直线上的点与无穷平面上点为1-1对应。

我们把１）与３）的证明留给读者，下面来证明２）。

因（0,1）中点是小于１的数d，可以用一个无穷小数

d=0.a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈…

来表示，如果d原来为有穷小数，改为等价的无穷循环小数（如0.4改为0.39999…），这样，（0,1）间的每一个数都有一个且仅有一个实数与它对应；现令

x = 0.a₁ a₃ a₅ a₇…，y = 0.a₂ a₄ a₆ a₈…

也就是说，用d的奇位小数作为x的小数，用d偶位小数作为y小数，那么，有一个d，就有一个对应的（x,y）。且反之，有一个平面点（x,y），如

x = 0.a₁a₂a₃a₄…，y = 0.b₁b₂b₃b₄…

那么

d = 0.a₁b₁a₂b₂a_3.b₃…

就是对应的直线点，它的对应的平面点（x,y）的两个分量分别就是0.a₁a_{2 a3 a4}…和0.b₁b₂b₃b₄…。

这样就证明了2），再加上1），3），就证明了本例的结论，即直线上的点与平面上点为1-1对应。

要特别注意一点，直线与平面上这种点的对应方式没有连续性，直线上两个很邻近的点对应到平面后位置可能相差很远，且反之也一样。而本书后面讨论的所有对应都要求有连续性，即其中任一集合的两个元素相互充分靠拢，那么另一集合的两个对应元素也彼此靠拢，只有无穷远点可以例外。

从上面各节的论述还可以看出，1-1对应概念是比枚举（即计数）概念更为广泛的一种概念，例如，直线上的点我们无法一个一个地来枚举，无法列出一个点后的下一个点是什么，但我们仍然可以考察任意两个无穷集是否能建立1-1对应。

在集合论中，两个1-1对应的集称等势（power）集。由上可知，当集合为有限时，等势就意味元素数目相同。故势的概念是数目概念的推广。利用势的概念，我们可以研究无穷集的大小，例如研究直线点集与自然数集是否等势？或所有的无穷集是否都等势？是否存在一个势为最大的集合？所有这些问题在集合论中都已证明具有否定答案。因此可以根据势的大小对无穷集分类，凡和自然数1-1对应的集叫可列集（或可数集、可枚举集），它们的势叫可列势。凡和直线点集1-1对应的集叫连续集，它们的势叫连续势。更大的势集虽然存在，但对本书今后没有用。

5．部分和整体的1-1对应，无穷集的定义

从上节的几个例子中我们能看出一个非常重要的事实，即无穷集都可以与它的一个真子集（从原集合中排除一些元素之后的集合）建立1-1对应。这种情况对于有限集是无法想象也根本不可能发生的。无穷集之所以会有这一特点，根本原因就在于无穷集的一部分仍可能是无穷，因而元素的“数目”并不减少。因此，可以利用无穷集的这一特征作为无穷集的一种定义：

［定义］任意一个集合，如它能和自己的一个真子集建立1-1对应，则称为无穷集。

这一定义是一个正面定义，它与通常的，把无穷集说成是“无法枚举的集合”或“无法枚举完成的集合”等消极定义相比，更容易用实践检验，因而也是更为合理的定义。

6. 无穷远点

前面第4节的例２中，我们证明了两个不同长的线段上的点可以建立1-1对应，同节的例４则证明一寸长线段上可以找到两倍于无限长直线上的点。这些例子都是点集与点集间的对应，只是点集的大小范围不同。

现在我们要为点和线两种不同元素的集合建立对应。我们为无穷直线上的点，与通过一个已知点的所有直线建立1-1对应，如图6-1所示。AB为所指直线，两端可以无限延伸，C是无穷直线AB上任意一点，S是给定的已知点。

通过C和S作直线SC，则此直线c＝SC就是与C对应的直线。反之，对于通过S的任意直线c，只要c不与AB平行，那么c延长后总能与AB交于一点C，所以交点C就是与直线c的对应点。但若过S的直线与AB平行，如图中虚线m，则根据Euclid假设，m无论怎样延长都不与AB相交。所以，AB上找不到任何点与此特殊直线m对应。

图 6-1 直线上的点C与通过点S的直线c对应

为了弥补这一缺陷，使无穷直线AB上所有点都能与通过S的所有直线1-1对应，在射影几何中通常假设，在直线AB的无穷远处存在一个点，并规定这个点就是AB与包括m在内的所有平行线的共同交点。在这样理解下，与直线m对应的AB上的点就是那个无穷远处的点。这样，无穷直线上所有点都能与通过S的所有直线1-1对应了。

再回过头来考察第4节例４中有关一英寸线段A’B’与无穷长直线AB的对应关系。我们已证明：对于无穷长直线AB上的任一点C，我们都能在周长与A’B’相等的圆上找到C’和C’’两点与它对应。但反过来，通过圆心的直线L与圆的一对交点C’和C’’只有在L不与AB平行时，才能在AB找到这样的点，如果L与直线AB平行，则L与圆的交点C’和C’’就在AB上找不到对应点C了。这种特殊情况也和上面相似，只要假设AB无穷远处存在一个点，它是AB以及与它平行的所有直线的共同交点，那么对于圆周上那两个特殊点C’和C’’也能在AB上找到对应的一点了。由此我们圆满地证明了1英寸线段上的点，可以与无穷长直线AB上点的两倍建立1-1对应。

上述这种规定在研究射影几何时极为重要，为此使用了几个专门术语来称呼它们：把位于直线无穷远处的点叫无穷远点；原来意义下的直线加上无穷远点之后的直线特称扩充直线；扩充直线上依次连续的所有点组成一个点列（point-row）。通过一已知点的所有直线称一个线束或射线束（pencil of rays）。1-1对应下的点列和线束称为处于透视位置（perspective position），或称它们为透视相关（perspective related），它们的对应为透视对应。

7. 轴束，基本形

通过一个共同直线的所有平面叫一个平面束，或轴束（axial pencil）。共同直线称为轴（axial），如图7-1，图中只画了三个平面。下一节我们将证明，一个轴束中的平面全体可以与直线上点的全体建立1-1对应。

图7-1以直线a为轴的轴束或平面束

点列、线束和轴束，相对于点、线、面等基本几何元素而言，已是一种简单的结构（structure），常称为基本形（fundamental forms）。它们互相之间能够建立1-1对应的事实，常用它们是同阶的（same order）这一术语表达，并说它们都是一阶的（first order）。从本书后面讨论的例子将看到，还可以构造别的无穷集也能与点列建立1-1对应，但也有一些无穷集则不能与点列建立1-1对应，后者理所当然地将被称作为二阶或高阶无穷集。

8. 更多的透视对应

前面第6节已介绍点列与线束之间的透视对应，第７节已谈到点列与轴束之间也能建立对应，这种对应下面将说明，也是一种透视对应。透视对应是很多的，它可以在不同或相同的任意两种基本形之间建立，对于点列、线束和轴束三种基本形而言，共有6种透视对应关系：

图中u代表点列，P代表线束，π为轴束（面束）

1) 点列与线束间的透视对应：前已讲过，是指线束中的每一条射线对应于点列中对应点的情况。这时线束中各射线的公共交点P称为透视中心，参见图8-1。

2) 线束与线束间的透视对应：这是指两个线束对应的射线都相交于同一条直线ｕ。这条所有交点的共同直线称为透视轴（axis of perspectivity）,参见图8-2。

3) 点列与点列间的透视对应：这是指点列u1和u2所有对应点都位于通过某一固定点P的直线上。这些直线组成一个线束，点P是线束中心，同时也是透视中心,参见图8-3。

4) 点列与轴束间的透视对应：这是指轴束中的每个平面都通过与它对应的点列的点。这时的轴束的轴a同时也是透视轴，参见图8-4。

5) 线束与轴束间的透视对应：这是指线束的每根射线都位于与它对应的轴束平面上。这时线束的中心P位于轴束的轴a上，轴束的轴a称为透视轴，参见图8-5。

6) 轴束与轴束间的透视对应：这是指两个轴束中对应平面的交线都位于同一平面上。这些交线的共同平面称为透视平面，参见图8-6。

需要补充说明，图8-2中两个线束的透视中心P₁与P₂都画在点列u的上方，这并非必要，如果它们位于不同侧，仍然为相互透视对应。类似地，图8-3中，如将点列u1和u2改画在透视中心P上下两侧，也为透视对应。最后，在图8-6中，若把轴束π1和π2都画在透视平面π的同一侧，我们仍然定义它们为透视对应。在今后的许多定理中，为避免繁琐，往往仅就一种图形进行证明，但其证明不失一般性，对其他情况也将成立。

9. 射影关系

不难想象，两个点列之间除了透视对应外，还有更一般的对应关系。考察图9-1。

图9-1 点列A’B’和A”B”互不透视但互为射影

线束S1与S2以AB作为共同轴线，它们形状完全相同，但对称地位于透视轴左右二侧，根据上节线束与线束互为透视的定义以及补充说明，它们互为透视。现用直线从两个线束分别截取两个点列A’ C’ B’和A” C’’B”，则由上节图8-3它们均与ACB透视。但因C’C’’与A’A’’有交点T2，而与B’B’’有交于T1，点列A’C’B’和A”C’’B”对应点的连线A’A’’, B’B’’, C’C’’ 没有共同交点作为透视中心，故点列A’C’B’和A”C’’B”相互不透视。

两个点列S1与S2，无论是本身相互透视，还是分别与另一点列S透视，都称它们为射影相关的点列，或称它们有射影关系、它们互为射影、它们处于射影位置，等。射影关系是射影几何中最重要的一种关系，本课程所有的命题始终离不开它，我们稍后还要进一步给出一个更精确的、具有一般性的定义。在这里我们先作一些初步的说明：

*射影关系是1-1对应关系。

*射影关系具有传递性。即如果 S1与S2射影相关，S2与S3射影相关，则S1与S3也称射影相关。如图9-2中画出的四根粗线代表四个点列，它们从左到右依次透视相关（因而也射影相关），而不相邻的点列则都不透视相关，但全部都射影相关。

* 射影关系可以定义在各种不同的一届基本形之间，包括点列与点列之间，线束与线束之间，或线束与点列之间等。

*如果射影相关的第一个线束为平行射线（即透视中心位于无穷远点），则线束到点列的射影就像光线投射到半透明的反射镜，无论经过多少次的射影（投影），其反射的或透射的射线都相互平行；如果入射线与点列均保持45度角，则所有点列，除了方向有正反的差别之外，其余完全相同，如图9-3所示。

* 射影相关的两个基本形的元素之间的1-1对应具有连续性。即，如将其中任一基本形的两个元素相互充分靠拢，那么另一基本形的二个对应元素也彼此靠拢。这和$4例5介绍的无穷直线与无穷平面上点的1-1对应方式完全不同。另外，当两个基本形都为点列时，这种连续性也要服从于无穷远点这一例外。

10. 无穷到1与1到无穷的对应

读者可以像例5那样，把直线上的点与平面上的点建立1-1对应。但是，如果我们要求对应保持连续性（见上一小节）的话，那就不可能是这种情况了。考察不在同一平面的二条直线，在其中一条直线上取m点，另一条直线上取n点，则连接m点和n点的直线数目显然共有mn条。如图10-1所示。

图10-1连接a上n点与b上m点的直线有nm条

如果我们把一条直线的所有点象征地记作∞，那么，连接二条直线点的直线数目应该就是∞^２条。显然，在一条线上的每一点都有无穷条直线与另一条直线相连接，因此这样的对应我们可称作无穷-１的对应。由此可知，与二条直线相交的直线集是比点集更高一阶的无穷集，是一个二阶无穷集。

11. 平面点的无穷阶数

现在我们来证明，平面点系可以与空间中和两条不在同一平面的直线相交的直线系统建立1-1对应。首先，直线系中的每条直线L都能与平面的一个点P相交，此点P就是对应直线L的平面点；反之，平面的每个点P也唯一地确定一根直线L与两条已知直线相交，这就是由点P和二条直线所决定的两个平面的交线L。由此可知，平面点集是与不在同一平面的二条线相交的直线的全体是同一阶的。也就是说，是二阶的。现在我们把已有的这些结果表达如下：

图11 点P与一连线对应

12. 一阶与二阶无穷集

如果把直线上的点的全体称为一阶无穷集，则平面上一个线束中的所有射线也是个一阶无穷集，空间中一个轴束中的所有平面也是一阶无穷集。而与两条不在同一平面的直线相交的所有直线是一个二阶无穷集，一个平面上的所有点也是二阶无穷集。

13. 通过空间一点的所有直线

如果我们将平面上的每个点与不在此平面上的一个固定点相连，那么我们就为平面点和通过空间点的直线建立了1-1对应。因而，通过空间一点的所有直线也是二阶无穷集。

14. 通过空间一点的所有平面

如果我们为通过空间某点P的每条直线l_i作一垂直于此直线并仍通过P点的平面Π_i，则我们就为通过空间一点的直线与通过空间一点的平面系建立了1-1对应，由此可知，通过空间一点的平面全体也是二阶无穷集，见图14-1。

图14-1过空间点的所有平面为二阶无穷

15. 平面上所有的直线

设Π是一个平面，我们证明Π上的直线全体为二阶无穷集。为此，设P是空间中不在Π上的一个点，因通过一点P的所有平面前面已证为二阶无穷，所以我们只要证明，Π上的直线可以和通过点P的所有平面建立1-1对应就行了。

图15-1 平面上所有直线为二阶无穷

［证］对于通过点P的任一平面π，我们求出π与Π的交线，此交线存在唯一，它就是所要的Π上与平面π对应的直线a。

反之，对于Π上的任一直线a，我们作一平面，使它通过点P又通过直线a，这样的平面显然也存在唯一，故它就是与Π上直线a对应的通过P的平面π。

这样，我们证明了平面Π上的直线可与通过点P的平面建立1-1对应。故平面上直线全体也为二阶无穷集。

又因12节中已证明平面上所有的点也是二阶无穷集，故根据1-1对应的传递性，平面上所有点与平面上所有直线也可以建立1-1对应。当然，我们也可以用别的办法来直接证明平面Π上的点可与平面Π上的直线建立1-1对应。例如，取不在平面Π上的一个固定点P，对于平面Π上任意一点Q，我们连接Q与P，通过P作一平面π与直线QP垂直，此平面与Π交于直线a，则此直线a就可用来与点Q建立1-1对应。我们后面还将给出另一种非常重要方法来实现平面点与平面直线间的1-1对应。

16. 平面系和点系

我们可以把空间中的一个平面，看作为组成它的所有点的系统或所有直线的系统，叫平面系（Plane system），平面系是一种二阶的基本形。同样，一个空间点，我们可以把它看作为通过此点的所有直线的系统或所有平面的系统，叫点系（point system）。点系同样也是一种二阶的基本形。

17. 空间中的所有平面

我们现在取空间中三条直线，它们两两均不在同一平面。例如，我们可取立方体上下、左右、前后六个面的12条公共边中相互不邻接三条，作为我们的直线，如图17-1粗线所示。再在第一条直线上选l点，在第二条直线上选m点，在第三条直线上选n点，则通过每条直线一个点的平面总数就是l、m、n的乘积，即lmn条。因此，如果我们把一条直线的所有点象征地记作∞，那么，通过每个直线一点的平面总数应该就是∞^３，故我们称这些平面总数为三阶无穷。但显然，空间的任意平面都已包含在以上集合中，所以由空间所有平面组成的系统也是三阶无穷集。

(深色粗线)

18. 空间中的所有点

现考虑17小节的两两不在同一平面三条直线中，我们通过三条直线每一条的每个点作一垂直平面，这样对于三条直线的每一组点可以得到三个平面，而这三个平面又进一步确定了空间唯一的点。而且反过来，对于空间每一个点，我们可以通过它得到唯一的一组三个平面垂直于三条直线，因此，空间点可以和通过三条直线各一点的平面建立对应，而后者是三阶的无穷集，故空间点集也是三阶无穷集。

19. 空间系

我们把三维空间看作组成它的所有点的系统或所有平面的系统，叫空间系（space system）。因此，空间系是一个具有三阶无穷的基本形。

20. 空间中的所有直线

如果我们把一个平面上每一个点连接到另一平面上每一个点，那么，这样的连线的总数应是∞^２乘∞^２条，即∞^４条。而这些连线全体就是空间中所有的直线。所以，空间所有直线组成一个四阶无穷集。空间直线也是一种基本形，它是一种四阶基本形。

21. 点与数之间的对应

在解析几何中，点、线、面等几何元素都与一些数（numbers）建立1-1对应。为了与不同类型的几何元素建立1-1对应，需要利用不同类型、不同个数、不同取值范围的数。对于直线点，需要用到一个取值范围为−∞到+∞的实数变量x与它对应。平面上的点则需要一对这样的变量（x, y）来对应，空间中的点需要三个这样的变量（x, y, z）来对应。而取值范围为−∞到+∞的一个常数（或常量）如3.12，用来确定直线上一个点的位置，一对常数用来定义平面上一个点的位置，三个常数用来确定空间一个点的位置，等。

平面上的直线或曲线（如圆）均可看成一个平面点(x,y)的运动轨迹（loci），需要用包含x,y两个变量的方程来与它对应。类似地，空间中的直线或平面或曲面（如球面）均可看成一个三维点(x,y,z)的轨迹，需要３个变量的方程来对应，等。

平面直线方程，如y = ax+b，含有a, b两个符号常量，它们每一个取值范围都为−∞到+∞。由此可知，平面直线有无穷多条，且无穷的阶数为二。同样，空间平面方程

z =ax+ b y + c

含有a, b, c三个符号常量，它们每一个取值范围都为−∞到+∞。由此可知，空间平面有无穷多条，且无穷的阶数为三。又如，平面上圆的方程

(x-a)²+(y-b)²= c²

含有a,,b , c三个符号常量，其中每一个取值范围都为−∞到+∞，由此可知平面圆全体为一三阶无穷。再有，因空间球面方程

(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²= d²

含有a,,b , c, d四个符号常量，所以空间球面是四阶无穷集。

要注意，无论直线、平面或者圆，等，都可以有很多类型的方程，有时出现的符号常量个数会比它们的无穷阶数要多。例如，平面直线方程常写成含有三个符号常量的形式：

ax+by = c，（其中a, b不同时为0）

这是因为a, b, c三个符号常量是不独立的，当a,b分别不为0时，方程最终可以化为x = cy+d或y = ax+b形式，它们都减少为两个符号常量了。总之，只有方程的符号常量数目为最少时，才能代表方程对应基本形的无穷阶数。

我们或许期望能在平面圆与空间平面之间，或与空间点之间建立1-1对应，因为它们都是三阶无穷；或者在空间球面和空间直线之间建立1-1对应，因为它们都是４阶无穷。这确实都是行的，并因此可以利用这种对应从一个定理来推导另一个定理，例如，利用有关直线的各种定理推导有关球面的定理，或者反之。这就是1-1对应方法的价值，它使数学家们有可能得到更多重大发现。但不应忘记，我们要求的对应必须是连续的。对于没有连续性约束的对应，如我们在第４节介绍的直线点与平面点的对应那样，那就完全没有用了，因为在后一种对应方式下，连无穷的阶的概念也不存在了，所有点集都1-1对应，不管几维。

22. 无穷远元素

为了解释清楚研究射影几何中经常使用的一个术语，我们有必要向读者最后讲几句。当我们为直线设立无穷远点时，目的仅仅是为了弥补无穷直线上所有点不能与通过一点的所有直线建立1-1这一缺陷。但这个点是一虚构的点，它实际并不存在。我们说它是一个点，而不是一些点，因为在Euclid几何中，通过一个点只能作一条线平行于另一条特定线。同样，我们说平面的所有无穷远点组成无穷远直线，是因为直线是我们可以想象的、对平面上任何直线都有一个交点的最简单的形式。同样，我们说空间的所有无穷远点组成一个无穷远平面，是因为平面是我们可以想象的、对空间中任何平面都有一条交线的最简单的形式。我们不能由此推断这些虚构的概念在物理上实际存在，也不能认为不可能有别的方法来生动描述这些无限远概念。事实上，在数学的另一个分支《复变函数论》中，就采用与此完全不同的解释，虚构了另一种无穷远点概念。把平面上的点Z与一球面（称黎曼球面）的点P(Z)建立1-1对应，如下面图22-1所示。图中的球面被平面切割在赤道大圆上，它的一半在平面上（有较深着色部分），一半在平面下（着色很浅部分）。对应的方法就是从球的最高点（即球顶或北极）引一直线到平面点Z，此直线与球面的交点P(Z)就是与Z对应的球面点。因此，如果点Z在此赤道大圆内部，如B点，其对应点P(B)位于下半球面。如果点Z在此大园外，如A点，其对应点P(A)位于上半球面。如果是无穷远点，则不管什么方向，直线均与球面在球顶相切，故平面所有的无穷远点均对应到球顶一点，不再有无穷远直线的概念，这和射影几何中的无穷远点概念完全不同。